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1、高二数学 上学期平面区域问题知识点分析在直角坐标平面内，直线l可以用二元一次方程Ax+By+C=0来表示，点P(x0,y0)在直线l上的充要条件是Ax0+By0+C=0；若点P不在直线l上，则Ax0+By0+C0或Ax0+By0+C0，二者必居其一.直线l：Ax+By+C=0将平面划分为两个半平面Ax+By+C0和Ax+By+C0，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式.要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如取原点或坐标轴上的点来检验.另外，还可证明如下结论：（1）若A0，则Ax+By+C0表示直线l:Ax+By+C=0右侧的半平面，Ax+By+C0表示直线l左
2、侧的半平面.（2）若B0，则Ax+By+C0表示直线l:Ax+By+C=0上方的半平面，Ax+By+C0表示直线l下方的半平面.例1在直角坐标平面上有两个区域M和N.M是由y0，yx和yz-x这三个不等式确定的.N是随t变化的区域，它由不等式txt+1的确定，t的取值范围是0t1.设M和N的公共面积是函数f(t)，求证：f(t)=-t2+t+.导析：这是一个基本问题，关键是确定M和N的公共部分的形状.可先让学生自行画出M、N这两个区域，然后再作判断.如图所示，依题意，区域M是图中AOB,区域N是直线x=t与x=t+1(0t1)之间的带形域.M和N的公共部分为图中的阴影部分五边形ACDEF（包括
3、边界）.关于五边形ACDEF面积的计算，可引导学生从下面三个途径去考虑：（1）AOB的面积减去RtODC、RtBEF的面积；（2）过A作x轴的垂线，将其划分为两个直角梯形来计算；（3）连结CF，将其划分为一个直角三角形CAF和一个直角梯形CDEF去求解.例2已知实数x、y满足2x+y1，求u=x2+y2+4x-2y的最小值.导析：注意到所求式的结构特点，学生容易想到将其作如下的配方变形.u=(x+2)2+(y-1)2-5显然，(x+2)2+(y-1)2表示点P（x,y)与定点A（-2,1)的距离的平方.由约束条件2x+y1知，点P（x，y）在直线l：2x+y=1的右上方区域G.于是，问题转化为
4、求定点A（-2，1）到区域G的最近距离.由图知，点A到直线l的距离为A到区域G中点的距离的最小值.d=d2=.故umin=d2-5=-.说明：这是一个条件最值问题，由于所求式呈现出两点间距离的特点，所以我们应用了等价转化的思想，应用解析法使问题得到巧妙地解决.例3设实数x、y满足不等式组（1）求点(x,y)所在的平面区域；（2）设a-1，在（1）所求的区域内，求函数f(x,y)=y-ax的最值.导析：必须使学生明确，求点(x,y)所在的平面区域，关键是确定区域的边界线，可从去掉绝对值符号入手.（1）已知的不等式组等价于解得点（x,y)所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界）.其中，AB:y=2x-5;BC:x+y=4;CD:y=-2x+1;DA:x+y=1.（2）f(x,y)表示直线l：y-ax=k在y轴上的截距，且直线l与（1）中所求区域有公共点.a-1,当直线l过顶点C时，f(x,y)最大.C点的坐标为（-3，7），f(x,y)的最大值为7+3a.如果-1a2，那么当直线l过顶点A（2，-1）时，f(x,y)最小，最小值为-1-2a.如果a2，那么当直线l过顶点B（3，1）时，f(x,y)最小，最小值为1-3a.说明：由于直线l的斜率为参数a，所以在求截距k的最值时，要注意对参数a进行讨论，方法是将直线l动起来.
