转载：澄清P问题、NP问题、NPC问题的概念

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1、转载：澄清P问题、NP问题、NPC问题的概念你会经常看到网上出现“这怎么做，这不是NP问题吗”、“这个只有搜了，这已经被证 明是NP问题了 ”之类的话。你要知道，大多数人此时所说的NP问题其实都是指的NPC问 题。他们没有搞清楚NP问题和NPC问题的概念。NP问题并不是那种“只有搜才行”的问 题， NPC 问题才是。好，行了，基本上这个误解已经被澄清了。下面的内容都是在讲什么 是 P 问题，什么是 NP 问题，什么是 NPC 问题，你如果不是很感兴趣就可以不看了。接下 来你可以看到，把NP问题当成是NPC问题是一个多大的错误。还是先用几句话简单说明一下时间复杂度。时间复杂度并不是表示一个程序解

2、决问题需 要花多少时间，而是当问题规模扩大后，程序需要的时间长度增长得有多快。也就是说，对 于高速处理数据的计算机来说，处理某一个特定数据的效率不能衡量一个程序的好坏，而应 该看当这个数据的规模变大到数百倍后，程序运行时间是否还是一样，或者也跟着慢了数百 倍，或者变慢了数万倍。不管数据有多大，程序处理花的时间始终是那么多的，我们就说这 个程序很好，具有0(1)的时间复杂度，也称常数级复杂度；数据规模变得有多大，花的时 间也跟着变得有多长，这个程序的时间复杂度就是0(n)，比如找n个数中的最大值；而像 冒泡排序、插入排序等，数据扩大2倍，时间变慢4倍的，属于0(2)的复杂度。还有一 些穷举类的算

3、法，所需时间长度成几何阶数上涨，这就是0(am)的指数级复杂度，甚至0(n!) 的阶乘级复杂度。不会存在0(2*2)的复杂度，因为前面的那个“2”是系数，根本不会影 响到整个程序的时间增长。同样地，O(nA3+nA2)的复杂度也就是0(3)的复杂度。因此，我 们会说，一个0(0.01*23)的程序的效率比0(100*2)的效率低，尽管在n很小的时候，前 者优于后者，但后者时间随数据规模增长得慢，最终0(3)的复杂度将远远超过0(2)。 我们也说，0(2100)的复杂度小于0(1.01人小的复杂度。容易看出，前面的几类复杂度被分为两种级别，其中后者的复杂度无论如何都远远大于 前者：一种是O(1)

4、,O(log(n),O(nAa)等，我们把它叫做多项式级的复杂度，因为它的规模n 出现在底数的位置；另一种是O(aAn)和O(n!)型复杂度，它是非多项式级的，其复杂度计算 机往往不能承受。当我们在解决一个问题时，我们选择的算法通常都需要是多项式级的复杂 度，非多项式级的复杂度需要的时间太多，往往会超时，除非是数据规模非常小。自然地，人们会想到一个问题：会不会所有的问题都可以找到复杂度为多项式级的算法 呢？很遗憾，答案是否定的。有些问题甚至根本不可能找到一个正确的算法来，这称之为“不 可解问题”Undecidable Decision Problem)。The Halting Problem

5、就是一个著名的不可解问题， 在我的MSN Space上有过专门的介绍和证明。再比如，输出从1到n这n个数的全排列。 不管你用什么方法，你的复杂度都是阶乘级，因为你总得用阶乘级的时间打印出结果来。有 人说，这样的“问题”不是一个“正规”的问题，正规的问题是让程序解决一个问题，输出 一个“YES”或“NO”(这被称为判定性问题)，或者一个什么什么的最优值(这被称为最 优化问题)。那么，根据这个定义，我也能举出一个不大可能会有多项式级算法的问题来： Hamilton回路。问题是这样的：给你一个图，问你能否找到一条经过每个顶点一次且恰好一 次(不遗漏也不重复)最后又走回来的路(满足这个条件的路径叫做H

6、amilton回路)。这个 问题现在还没有找到多项式级的算法。事实上，这个问题就是我们后面要说的NPC问题。下面引入 P 类问题的概念：如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的 算法，那么这个问题就属于P问题。P是英文单词多项式的第一个字母。哪些问题是P类问 题呢？通常NOI和NOIP不会出不属于P类问题的题目。我们常见到的一些信息奥赛的题 目都是 P 问题。道理很简单，一个用穷举换来的非多项式级时间的超时程序不会涵盖任何 有价值的算法。接下来引入NP问题的概念。这个就有点难理解了，或者说容易理解错误。在这里强调 (回到我竭力想澄清的误区上)，NP问题不是非P类问题。NP问题是指可以

7、在多项式的时 间里验证一个解的问题。NP问题的另一个定义是，可以在多项式的时间里猜出一个解的问 题。比方说，我RP很好，在程序中需要枚举时，我可以一猜一个准。现在某人拿到了一个 求最短路径的问题，问从起点到终点是否有一条小于100个单位长度的路线。它根据数据画 好了图，但怎么也算不出来，于是来问我：你看怎么选条路走得最少？我说，我RP很好， 肯定能随便给你指条很短的路出来。然后我就胡乱画了几条线，说就这条吧。那人按我指的 这条把权值加起来一看，嘿，神了，路径长度98，比100小。于是答案出来了，存在比100 小的路径。别人会问他这题怎么做出来的，他就可以说，因为我找到了一个比 100小的解。

8、在这个题中，找一个解很困难，但验证一个解很容易。验证一个解只需要O(n)的时间复杂 度，也就是说我可以花O(n)的时间把我猜的路径的长度加出来。那么，只要我RP好，猜得 准，我一定能在多项式的时间里解决这个问题。我猜到的方案总是最优的，不满足题意的方 案也不会来骗我去选它。这就是NP问题。当然有不是NP问题的问题，即你猜到了解但是 没用，因为你不能在多项式的时间里去验证它。下面我要举的例子是一个经典的例子，它指 出了一个目前还没有办法在多项式的时间里验证一个解的问题。很显然，前面所说的 Hamilton回路是NP问题，因为验证一条路是否恰好经过了每一个顶点非常容易。但我要把 问题换成这样：试问

9、一个图中是否不存在Hamilton回路。这样问题就没法在多项式的时间 里进行验证了，因为除非你试过所有的路，否则你不敢断定它“没有Hamilton回路”之所以要定义NP问题，是因为通常只有NP问题才可能找到多项式的算法。我们不会 指望一个连多项式地验证一个解都不行的问题存在一个解决它的多项式级的算法。相信读者 很快明白，信息学中的号称最困难的问题“NP问题”，实际上是在探讨NP问题与P类 问题的关系。很显然，所有的P类问题都是NP问题。也就是说，能多项式地解决一个问题，必然能 多项式地验证一个问题的解既然正解都出来了，验证任意给定的解也只需要比较一下就 可以了。关键是，人们想知道，是否所有的N

10、P问题都是P类问题。我们可以再用集合的观 点来说明。如果把所有P类问题归为一个集合P中，把所有NP问题划进另一个集合NP中， 那么，显然有P属于NP。现在，所有对NP问题的研究都集中在一个问题上，即究竟是否 有P=NP?通常所谓的“NP问题”其实就一句话：证明或推翻P=NP。NP问题一直都是信息学的巅峰。巅峰，意即很引人注目但难以解决。在信息学研究中， 这是一个耗费了很多时间和精力也没有解决的终极问题，好比物理学中的大统一和数学中的 歌德巴赫猜想等。目前为止这个问题还“啃不动”。但是，一个总的趋势、一个大方向是有的。人们普遍 认为，P=NP不成立，也就是说，多数人相信，存在至少一个不可能有多项

11、式级复杂度的算 法的NP问题。人们如此坚信PHNP是有原因的，就是在研究NP问题的过程中找出了一类 非常特殊的NP问题叫做NP-完全问题，也即所谓的NPC问题。C是英文单词“完全”的第 一个字母。正是NPC问题的存在，使人们相信PHNP。下文将花大量篇幅介绍NPC问题， 你从中可以体会到NPC问题使P=NP变得多么不可思议。为了说明NPC问题,我们先引入一个概念约化(Reducibility,有的资料上叫“归约”)。简单地说一个问题A可以约化为问题B的含义即是，可以用问题B的解法解决问题A， 或者说，问题A可以“变成”问题B。算法导论上举了这么一个例子。比如说，现在有 两个问题：求解一个一元一

12、次方程和求解一个一元二次方程。那么我们说，前者可以约化为 后者，意即知道如何解一个一元二次方程那么一定能解出一元一次方程。我们可以写出两个 程序分别对应两个问题，那么我们能找到一个“规则”，按照这个规则把解一元一次方程程 序的输入数据变一下，用在解一元二次方程的程序上，两个程序总能得到一样的结果。这个 规则即是：两个方程的对应项系数不变，一元二次方程的二次项系数为0。按照这个规则把 前一个问题转换成后一个问题，两个问题就等价了。同样地，我们可以说，Hamilton回路可 以约化为TSP问题（Travelling Salesman Problem,旅行商问题）：在Hamilton回路问题中，两

13、点相连即这两点距离为0,两点不直接相连则令其距离为1,于是问题转化为在TSP问题中， 是否存在一条长为0的路径。Hamilton回路存在当且仅当TSP问题中存在长为0的回路。“问题A可约化为问题B”有一个重要的直观意义：B的时间复杂度高于或者等于A的 时间复杂度。也就是说，问题A不比问题B难。这很容易理解。既然问题A能用问题B来 解决，倘若B的时间复杂度比A的时间复杂度还低了，那A的算法就可以改进为B的算法， 两者的时间复杂度还是相同。正如解一元二次方程比解一元一次方程难，因为解决前者的方 法可以用来解决后者。很显然，约化具有一项重要的性质：约化具有传递性。如果问题A可约化为问题B， 问题B可

14、约化为问题C,则问题A一定可约化为问题C。这个道理非常简单，就不必阐述 了。现在再来说一下约化的标准概念就不难理解了：如果能找到这样一个变化法则，对任意 一个程序A的输入，都能按这个法则变换成程序B的输入，使两程序的输出相同，那么我 们说，问题A可约化为问题B。当然，我们所说的“可约化”是指的可“多项式地”约化（Polynomial-time Reducible）, 即变换输入的方法是能在多项式的时间里完成的。约化的过程只有用多项式的时间完成才有 意义。好了，从约化的定义中我们看到，一个问题约化为另一个问题，时间复杂度增加了，问 题的应用范围也增大了。通过对某些问题的不断约化，我们能够不断寻找

15、复杂度更高，但应 用范围更广的算法来代替复杂度虽然低，但只能用于很小的一类问题的算法。再回想前面讲 的P和NP问题，联想起约化的传递性，自然地，我们会想问，如果不断地约化上去，不断 找到能“通吃”若干小NP问题的一个稍复杂的大NP问题，那么最后是否有可能找到一个 时间复杂度最高，并且能“通吃”所有的NP问题的这样一个超级NP问题？答案居然是肯 定的。也就是说，存在这样一个NP问题，所有的NP问题都可以约化成它（即NPC）。换句话 说，只要解决了这个问题，那么所有的NP问题都解决了。这种问题的存在难以置信，并且 更加不可思议的是，这种问题不只一个，它有很多个，它是一类问题。这一类问题就是传说 中

16、的NPC问题，也就是NP-完全问题。NPC问题的出现使整个NP问题的研究得到了飞跃 式的发展。我们有理由相信， NPC 问题是最复杂的问题。再次回到全文开头，我们可以看 到，人们想表达一个问题不存在多项式的高效算法时应该说它“属于NPC问题”。此时，我 的目的终于达到了，我已经把NP问题和NPC问题区别开了。到此为止，本文已经写了近 5000字了，我佩服你还能看到这里来，同时也佩服一下自己能写到这里来。NPC问题的定义非常简单。同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题。首先，它得 是一个NP问题；然后，所有的NP问题都可以约化到它。证明一个问题是NPC问题也很简 单。先证明它至少是一个NP问题，再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它（由约化 的传递性，则NPC问题定义的第二条也得以满足；至于第一个NPC问题是怎么来的，下文 将介绍），这样就可以说它是NPC问题了。既然所有的NP问题都能约化成NPC问题，那么只要任意一个NPC问题找到了一个多 项式的算法，那么所有的NP问题都能用