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1、（聚焦2023）第8讲：二次函数专题讲座（一）二次函数的解析式的三种形式（1）标准式：y=ax2+bx+c（a0）；（2）顶点式：y=a（x+m）2+n（a0）；（3）两根式：y=a（xx1）（xx2）（a0）【例1】已知二次函数y=f（x）同时满足条件：（1）f（1+x）=f（1x）；（2）y=f（x）的最大值是；（3）f（x）的两根立方和等于。求yf（x）的解析式。（二）二次函数的基本性质（1）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x，顶点坐标是（，）。当a0时，抛物线开口向上，函数在，上递减，在，上递增。当a0时，抛物线开口向下，函数在，上递增，在，上递
2、减。（2）直线与曲线的交点问题：二次函数f（x）=ax2+bx+c（a），当b2ac0时，图像与x轴有两个交点（x，）（x，），于是xx。若抛物线y=ax2+bx+c（a0）与直线y=mx+n，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax2+bx+c =mx+n，即px2+qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二次方程的判别式的符号决定。特别地，抛物线与x轴的交点情况由ax2+bx+c=0的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax2+bx+c = 0的判别式的符号问题。当= b24ac0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，即对应的抛物线
3、与x轴有两个交点，此时二次函数的图像被x轴截得的弦长L=|x2x1|=。当= b24ac=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，即对应的抛物线与x轴只有一个交点，此时抛物线与x轴相切。当= b24ac0）在闭区间m，n上的最值：若，则y=f（x）在区间m，n上是增函数，此时必有f（m）f（x）f（n）；若，则y=f（x）的最小值为f(x)min=f()，但最大值应视对称轴与区间端点的距离而定；若，则y=f（x）的最大值为f(x)max=f(n)；若，则y=f（x）的最大值为f(x)max=f(m)；（3）若，则y=f（x）在区间m，n上是减函数，此时必有f（n）f（x）f（m）。（
4、）二次函数在闭区间上的最值求解步骤：配方；作图；截断。注：关键是关心对称轴是否一定在所给的区间内。【例】已知函数yx2+ax在区间，上的最大值是，求实数a的值。【例】（年全国高考试题）已知a为实数，函数yx2+xa，x。（）讨论yf（x）的奇偶性；（）求yf（x）的最小值。（四）设x，x是实系数一元二次方程ax2+bx+c（a0）的两个实数根，则x，x的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示：一元二次方程根的分布x2 Ox1 yxf（k） k图像0f（k）0k充要条件x1 Oxyx2 kf（k） xxk0f（k）0kkxxx1 Oxyx2 kxkxx1 Oxyx2 k1k2 f（k）0x
5、，x（k，k）f（k1）f（k2）0或f（k1）=0k1k2f（k2）=0k1 Oxyk2 0f（k1）0f（k2）0k1k2x，x有且仅有一个在（k，k）【点拨】四个二次之间的关系的实质是二次函数、一元二次不等式、一元二次方程和一元二次二项式之间的联系：一元二次不等式、一元二次方程和一元二次二项式均可融汇在二次函数之中。（1）一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0与对应的二次函数的关系：当f（x）=0时，即为关于x的一元二次方程；（2）一元二次方程f（x）=0与对应的二次函数的关系主要是一元二次方程的根的分布问题，对这类问题的思考应注意以下几个方面：二次函数的开口方向；方程的根
6、所在区间的端点；对称轴；判别式；二次函数的图像与x轴的交点。【例5】已知集合A=（x，y）|x2+mxy+2=0与B=（x，y）|xy+1=0，0x2，若AB，求实数m的取值范围。【例6】若对任意实数x，sin2x+2kcosx2k20恒成立，求实数k的取值范围。（五）在数学应用题中，某些量的变化通常是遵循一定规律的，这些规律就是我们所说的函数，建立函数模型解决应用题时，以二次函数最为常见，同时还涉及到二次函数的最值问题。【例7】某商场以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的同一价格出售，销售有淡季和旺季之分，标价越高，购买的人数越少，我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格，
7、市场调查发现：（1）购买人数是羊毛衫标价的一次函数；（2）旺季的最高价格是淡季的最高价格的倍；（3）旺季时，商场以140元/件的价格出售能获得最大利润，试问羊毛衫的标价应定为多少？【例8】已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可表示为函数：P（x）=（x30）2+8（万元）。现开发一个回报率高科技含量高的新产品，根据预测，新产品每年投入x万元，可以获得的利润Q（x）=（100x）2+（100x）（万元）。新产品开发从“十五”计划的第一年开始，用两年的时间完成。这两年，每年从100万元的生产准备资金中，拿出80万元来投入新产品的开发，从第三年开始，这100万元完全用于新旧两种产品的
8、投入。（1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款1000万元，利率为5.5%（不计复利），第五年底一次性就向银行偿还本息共多少万元；（2）从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备资金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使利润最大？（3）从新旧产品的五年最高总利润中拿出70%来，能否还清对银行的贷款？（六）二次函数是一类非常重要的函数，它的单调性和最值等特性决定了它与不等式的内在联系，二次函数与不等式的巧妙结合是高考命题的一个新动向。【例9】对二次函数f（x）=x2+bx+c（b、cR），不论、为任何实数恒有f（sin）0，f（2+cos）0。（1）求证：b+c=-1；（2）求证：c3
9、；（3）若f（sin）的最大值为8，求b、c的值。【分析】（1）依据题意f（sin）0，f（2+cos）0对于、为任何实数恒成立，则不妨令sin=1、cos=1，则b+c+10，b+c+10，即b+c=1。（2）由-1cos1可以取cos=1，于是f（3）=3b+c+90（1），又b=1c，从而代入（1）得，62c，即c3。（3）f（sin）=sin2+bsin+c=（sin+）2+c-，于是由b+c=1且c3得，b4，即2，且1sin1，从而当sin=1时，f（sin）=8，所以1b+c=8。故b=-4，c=3。注意：本题实质是利用三角函数的有界性。【例10】已知二次函数y=f（x）=ax2
10、+bx+c的图像经过点（1，0），是否存在常数a、b、c，使不等式xf（x）对一切实数x都成立？（1）求f（1）的值；（2）求y=f（x）的解析式；（3）。（七）二次函数的图像问题：（1）y=ax2+bx+c（abc0），尽管如此，但由于二次函数的二次项的系数a相等，所以二次函数图像形状，开口方向完全相同，只不过位置不同而已，从而系数a决定二次函数的图像形状和开口方向，且a的符号决定开口方向，|a|决定抛物线开口的大小，即当a0时，a越大，抛物线张口越小；a越小，抛物线张口越大；当a0时，|a|越大，抛物线张口越小；|a|越大，抛物线张口越小。（2）在直角坐标系中，二次函数的图像是一条以x=b
11、/2a为对称轴的抛物线。注意：该命题的逆命题不成立，但下述命题是成立的：对称轴是y轴（或平行于y轴）的抛物线所对应的函数是二次函数。（3）顶点坐标（，）。（4）二次函数的图像过坐标原点c=0，而当x=0时，y=c称为二次函数在y轴上的截距，任何一个二次函数的图像与y轴必相交且交点坐标为（0，c）。（5）二次函数与x轴的交点的横坐标是对应的一元二次方程f（x）=0的实数根。（6）设二次函数y=ax2+bx+c（a0），则当a0且0恒成立；当a0且0时，f（x）0时，抛物线的开口向上，函数y=f（x）在区间，上单调递减；在（，+）上单调递增；此时函数在x=处取得最小值；（2）当a0时，抛物线的开口
12、向下，函数y=f（x）在区间（，上单调递增；在（，+）上单调递减；此时函数在x=处取得最大值。四、重要结论：（函数图像的凹凸性）已知二次函数f（x）=x2+ax+b，则对任意的x1，x2，都有。注：命题中并未明确指出a、b的范围，表明所求证的式子与a、b的值无关，抓住此特征，该命题则可改编为下列命题：1、若a=0，试比较与的大小；2、若a=1，试比较与的大小；3、是否存在常数a，使得成立？若成立，请求出a的取值范围；若不成立，请说明理由。答案：存在常数a，使成立，且a的范围是，0。4、已知函数f（x）具有性质：，现给出函数：（1）y=x2；（2）y=2x；（3）y=log2x；（4）y=cosx，x，；（5）y=tanx，x0，。则在函数定义域内具有这个性质的函数有：（1）（2）（4）（5）。1、作下列函数的图像：（1）y=x22x3,xR；（2）y=x22x3,x1,2；（3）y=x22|x|3；
