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1、-根本不等式习专题之根本不等式做题技巧【根本知识】1.1假设，则 (2)假设，则当且仅当时取=2. (1)假设，则 (2)假设，则当且仅当时取=(3)假设，则 (当且仅当时取=(4)当且仅当a =b =c时,=号成立； ,当且仅当a = b = c时,=号成立.4.假设，则当且仅当时取=注：1当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓积定和最小，和定积最大2求最值的条件一正，二定，三取等(3)熟悉一个重要的不等式链：。【技巧讲解】技巧一：凑项增减项与凑系数利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆
2、因式、平方等方式进展构造1：，求函数的最大值。2. 当时，求的最大值。3：设，求函数的最大值。4、求函数的最小值。5 ，且满足，求的最大值. 6*，y为正实数，且* 21，求*的最大值.7 假设且,求的最小值 .技巧一答案：1解：因，所以首先要调整符号，又不是常数，所以对要进展拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。评注：此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。2解析：由知，利用根本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即*2时取等号当*2时，的最大值为8。评注：此题无法直接运用根本不等
3、式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用根本不等式求最大值。3、解：当且仅当即时等号成立。4解析：，当且仅当即时，=号成立，故此函数最小值是。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项常常是拆底次的式子等方式进展构造。5、分析, 是二项积的形式，但不知其和的形式是否认值，而是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式. 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 6分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为，*下面将*，分别看成两个因式：*即*7分析初看，这是一个三元式的最值问题
4、，无法利用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了. 技巧二：别离或裂项1. 求的值域。2求函数的值域. 1解析一：此题看似无法运用根本不等式，不妨将分子配方凑出含有*1的项，再将其别离。当,即时,当且仅当*1时取号。2、解：可将上式转化为所以值域为：技巧三：换元1、求的值域。2、求函数的最大值. 3、正数*、y满足，求的最小值。4、*，y为正实数，且* 21，求*的最大值.参考答案：1、解析：此题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=*1，化简原式在别离求最值。当,即t=时,当t=2即*1时取号。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分
5、开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(*)恒正或恒负的形式，然后运用根本不等式来求最值。2分析可先令，进展换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决. 3、解法三：三角换元法令则有，易求得时=号成立，故最小值是18。技巧四：消元转化为函数最值，此时要注意确定变量的围1、 正数*、y满足，求的最小值。2、a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.3、设为正实数，则的最小值是. 1解法：消元法由得，由则。当且仅当即时=号成立，故此函数最小值是18。法一：a，abb由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2t34t28ab18 y当且仅当t4，即b3，a6时，等号
6、成立。3分析此题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进展消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题. 技巧五：整体代换(条件不等式)1：，且，求的最小值。2、正数*、y满足，求的最小值。1错解：，且，故。错因：解法中两次连用根本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用根本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。变式：1假设且，求的最小值(2)且，求的最小值2、解法：利用均值不等式,当且仅当即时=号成立，故此函数最小值是18。技巧六：转化
7、为不等式1. a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.2、正数满足，试求、的围。1解：由得：30aba2ba2b2 30ab2令u则u22u300，5u33，ab18，y点评：此题考察不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由不等式出发求得的围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将条件转换为含的不等式，进而解得的围.1解法：由，则，即解得，当且仅当即时取=号，故的取值围是。又，当且仅当即时取=号，故的取值围是技巧六：取平方1、 *，y为正实数，3*2y10，求函数W的最值.2: 求函数的最大值。解法一：假设利用算术平均与平方平均之间的不等关系，此题很简单2解法二：条件与结
8、论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向和为定值条件靠拢。W0，W23*2y210210()2()2 10(3*2y)20W2解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。故。评注：此题将解析式两边平方构造出和为定值，为利用根本不等式创造了条件。总之，我们利用根本不等式求最值时，一定要注意一正二定三相等，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用根本不等式。注意：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。1：求函数的值域。2、假设*、y，求的最小值。1解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增
9、，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。2解法一：单调性法由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。证明：任取且，则，则，即在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法二：配方法因，则有，易知当时，且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。解法三：导数法由得，当时，则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法四：拆分法，当且仅当时=号成立，故此函数最小值是5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。练习：2.假设实数满足，则的最小值是.分析：和到积是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：都是正数，当时等号成立，由及得即当时，的最小值是63假设，求的最小值.并求*,y的值求以下函数的最大值：解析：，当且仅当即时，=号成立，故此函数最大值是1。，则，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。,当且仅当，即时，不等式中的=号成立，故此函数最大值是。4.a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。5.假设直角三角形周长为1，求它的面积最大值。. z.
