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1、数学原来可以那么美-基于信息技术的“圆与正多边形”再认识浙江省杭州现代小学数学教育研究中心 唐彩斌写在前面：苏联教育家.A.阿莫纳什维利著有三部曲，“孩子们，你们好；你们生活得怎样？祝你们一路平安”。这样的标题用在表达教师面对即将毕业的孩子们是再贴切不过的了。此时，作为数学老师我们一定会问，孩子们六年了学了什么？学得怎样。在即将离开小学校园的时候，我们该怎样引导孩子来回顾小学数学的学习历程，除了“查漏补缺，拓展提高”这些泛化的表述以外，我们又该为孩子准备哪些“最后的营养”，面对习惯了的“精讲多练”的复习课，我们该如何考量理想的复习，是否应该是知识的整理与技能的巩固，同时也是经验的梳理以及思想的
2、提升。正是基于以上的思考背景，笔者创编了一个六年级综合实践活动：圆与正多边形再认识。结合学生的学情，制定了教学目标：在认识平面图形的基础上，进一步拓宽知识面，更深刻地认识圆与多边形之间的关系，为后续学习作更深铺垫；经历操作与猜测的过程，培养学生的空间观念和想象能力，经历探索规律的过程，渗透“化繁为简”的转化思想，在直与曲的变换中，渗透辨证的思想；通过借助超级画板的动画技术，感受到图形之间的变幻，感受并欣赏数学美，激发学习数学的兴趣。课堂回放一整理回顾，驱动研究。 1师：在我们学习的数学中，除了数，还有形。对于空间图形来说，包括点、线、面、体。它们之间有着怎样的联系呢？今天我们就借助超级画板来看
3、一看：很多点连在一起就成了线，很多线连在一起就成了面，很多面连在一起就成了体。今天我们主要研究平面图形。（动态演示）2师：我们学过哪些平面图形呢？生：三角形，长方形，正方形、平行四边形、梯形、五边形圆形。3引导比较。师：圆和这些图形有什么不同？生：圆是由曲线围成的，其他图形是由线段围成的。师：圆和其他的图形有着怎样的联系？今天我们将一起来研究。教学反思：在传统教学环境中，“点动成线，线动成面，面动成体”这样的基本认识总是停留在语言的表述上，很难直观地呈现。有了超级画板的演示，对点、线、面的移动进行跟踪，就非常便捷地实现了把抽象的知识直观展示了。它们之间的联系在信息技术的环境中尤为明晰。对于平面
4、图形的认识，学生会很快认识到圆与其他平面图形之间的不同，而联系似乎容易忽视，而本节课的学习从某种程度强化它们之间的联系。当正多边形的边数足够多的时候，实际它就成了一个圆。圆就是一个正无限多边形。基于以上两个方面的梳理，除了知识的回顾，更是强化了一种联系的思想。课堂回放二动态演示，探索规律；认识圆内接正多边形。（1）师：在圆周上找两个点，把圆周等分成2份，把这两个点连起来，是什么？生：直径；（2）师：把圆周等分成3份，把点连接起来就成三角形；依次类推，等分成4份，得到正四边形；等分成5份，得到正五边形（3）引导观察，交流发现。师：圆内出现这些图形有什么共同的特点与变化？相同之处：每条边都相等，顶
5、点在圆上，图形都在圆内，因此这些图形都叫做圆内接正多边形。有什么不同之处：点数越多，边数越多，面积和周长越接近圆； （4）动画验证发现。师：为了验证大家的发现，演示一个动画。（动态演示：多边形随着边数增加而增大。（5）数据验证发现。边演示动画，边出现数据，用数量精确刻画变化；当边数增多的时候，正多边形的面积和周长就接近圆了。当出现正100边形的时候，可以设问：看到的是正多边形，还是圆？肉眼看到的已经是一个圆，实际上是一个正100边形。引导想象：如果是正3072边形呢？学生惊呼：几乎就是圆了。（6）数学史介绍。师：这个道理，在古代推导圆周率的时候，就被发现，这个伟大的数学家的名字叫刘徽。（注：学
6、生总是异口同声地说“祖冲之”。）我们除了记住祖冲之还应该记住刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。学生根据理解加以解读。史料：中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”的数值来进行有关圆的计算。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。魏晋时期，刘徽提出用“割圆术”来求圆周率，把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算最精确的数据。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数
7、点以后的第七位。比西方国家早一千一百多年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。教学反思：尽管都是通过演示，引导学生经历一个正多边形边数逐渐增多引发的变化过程，但认识的层次依次加深，从单个图形的观察，到多个图形的动画演示，再到用数据精确刻画变化过程，不断深入地认识这一变化过程。而这一认识过程也恰恰是认识事物的一般过程，从个体的认识，到把多个事物联系起来看，再到用数学的眼光精确刻画。这也正是数学教育的目标之一。 对于史料，诚然，祖冲之对于圆周率的贡献是巨大的，但是刘徽的贡献也是不可磨灭的。我们不能割裂古代数学发展的片断，而应该尽可能展现全貌。展示全貌的概
8、览还有更为重要的意义是，它不仅介绍相关的人，而且还介绍相应的事，就如圆周率的史料，不仅介绍这些人，而且还介绍他们提出计算圆周率的方法，在当时的背景下提出这些方法的历史意义与贡献。课堂回放三解析美妙图案：完全图是怎么形成的？（1）师：刚才我们认识了圆内接正多边形，现在我们来看这一个图（出示一个顶点数为28的完全图），引导学生观察，提问：这个图是怎么画出来的？ （2）学生猜测。逐渐减少顶点数，引导学生发现图的构成；（3）基于讨论得出：这个图是由正多边形和它所有的对角线构成的。教师指出像这样的图形叫做完全图。（4）回顾过程提升方法。师：刚才是怎样发现这个图的形成特点的。结合学生的回答概括：把繁化简，
9、从简入手。（板书）（5）补充回应。师：刚才有同学猜测是用多边形旋转而成，旋转画出的图是怎样的？我们来演示一下。（动态演示由正三边形、正四边形、正五边形、正六边形绕点旋转而成的图形）教学反思：“好看”“漂亮”，这是描述事物的一般词汇。透过现象，探询本质，怀着好奇的心理了解图的构成，这是一种数学的视角。面对纷繁复杂的图案，能够唤起学生“化繁为简，从简入手”是一种重要的数学思想，基于简单的图形发现规律，再把规律推广到复杂的图形应用规律。 有了超级画板，演示学生的猜测，图案美妙变幻，学生兴趣盎然。课堂回放四解析美妙图案：完全图是多少条线段组成的？（1）教师：刚才我们知道了完全图是由正多边形和它所有的对
10、角线组成的。知道了这些，你们是否又有了新的问题？引导学生提问：到底有多少条线段呢？(不包括线段与线段相交后形成的线段，只是包括对角线与多边形的边)并启示学生思考准备怎么研究？（试图迁移化繁为简的转化思想）（2）操作活动：给学生圆内接正多边形的空图，可供学生动手操作，尝试探索规律；（3）引导学生有序思考：从一个顶点出发可以画出多少条线段。 多边形的边数 线段条数3 2104 32105 43210 28 272610n n1n210 归纳规律：完全图中的线段条数与顶点的关系：n(n1)2，n为多边形的边数，也是多边形的顶点数。（4）巩固试算。计算顶点数为20的图形中有多少条线段？教学反思：知道了
11、完全图的构成，进一步探究其中的线段数量。强化迁移“化繁为简，从简入手”数学思想，引导学生发现完全图中的线段条数与顶点的关系。在探索关系的过程中，引导学生有序地思考，从每一个顶点可以引发出多少条线段，有哪些线段是要重复的，直至概括出一般的数量关系。课堂回放五解析美妙图案：完全图是线段组成的，怎么会成曲线？（1）引导学生继续提问：教师：刚才我们化繁为简，一步一步认识了完全图，刚开始我们只知道它很漂亮，后来知道它是怎么形成的，（通过顶点画出所有的对角线）。而且还知道它由多少条线段组成。看着这个图，你还能提出其他问题？（2）引导学生思考：画的是线段但怎么在图中却出现了曲线，出现圆呢？（3）组织学生操作
12、。引导学生画一个简单的梯子滑倒图，感受画线段成曲线的过程。（4）教师引导并作动态演示，感受画直为曲。（板书：画直为曲）教学反思：面对完全图，学生经历了由浅入深的认识过程，先是了解它是怎么构成的，再是探索到底是由多少条线段组成，最后还思考画直为曲的道理。同一图示，认识逐渐深入，环环相扣，不断激发学生的好奇心，挖掘同一图示的教学功能。课堂回放六动态演示，数学欣赏。1师：在课的最后，我们再来欣赏与今天学习有关的一些美妙图案。2学生欣赏：把梯子模型图与圆绕着圆旋转的图案结合起来演示。最后组合演示出一朵美丽的花，形成一个美妙的图案。教学反思：随着新课程的改革，大家都赞同开设一些数学欣赏的内容，但鲜有系统
13、的内容。用超级画板展示的这些动态的图案显然可以给我们留下很多启示，也留下值得探寻的空间。这些动态图案的展示激发了学生极大的学习热情，让学生感觉到“原来数学可以这么美妙”。写在最后：1信息技术与学科整合有赖于有学科特性的技术平台。听过或看过这节课的设计后，大家都会追问一个问题：这是个什么软件啊？是啊，这的确是一个重要的前提性的问题。我们都知道信息技术与学科整合历来是国际数学教育研究的趋势之一。开发一个适合小学数学教学的平台，一直是信息技术与数学学科整合的瓶颈。继演示型课件、互动型课件之后，如何开发即时生成的技术平台？在研究与实践中，我们越来越能体会到一个具有普适性的技术总顾及不到某学科的专业要求
14、，一项好的教育技术必须符合学科教学的特点。继authorware、flash、powerpinot以后，又有什么好的软件会为教师提供选择。我国数学家、计算机科学家、中科院张景中院士研发的软件超级画板，无疑是填补了空白。从课的设计中，我们感受得到用了这个免费软件，“本来就要做的事，做得更快更容易了，效率提高了”，比如现在画一个正20边形，只要选定一条边，设置正多边形的边数是20，一个正20边形就画成了，拉动其中一条边的长度，其他的边也自然增长了，因为动态的变化中，等边的几何属性是不会变的；“有些过去想到做不到的事，可以轻松实现了”，比如：要从一个顶点数是28的完全图变为顶点数为4的完全图，只要拖
15、动变量滑钮就可以实现了，这在过去实现起来是困难的；“过去想不到或者不敢想的资源可以创造了”，当学生猜想完全图是多边形旋转而成，超级画板就可以当场演示“三角形旋转一圈形成的图形”，还可以把梯子模型的图和圆旋转的图结合起来形成美妙的花，这在传统的教学环境中是不可能完成的任务。而这一切超级画板都可以帮我们轻松实现。2课程内容的改变是课程改革的重要组成部分。当听完或看完课的时候，另一个不约而同会问的是：这个内容小学现有的课程中是没有的？ “圆内接正多边形”这样的词汇应该是中学的内容，其实这些名称并不是衡量中学内容与小学内容的标准，关键是看学生是否能够接受，课程内容的更新恰恰是重要的。笔者曾经不断反问自己：技术可以改变什么？是手段？是方法？是目标？是内容？设想，因为有了技术，而使得原来的课程内容的学习提高了效率，在此基础上，基于技术增加一些有利于学生探索规律、发展思维、培养空间观念、激发学习兴趣的内容未尝不可，恰恰相反，不是这样的内容多了，而是因为这样的内容我们研发的太少了。看着学生学完这节课，更加明晰了点线面体以及圆与正多边形的关系，掌握了探索规律解决问题的一般转化的方法“化繁为简，从简入手”，体悟到
