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1、第四节 条件收敛与绝对收敛对于任意项级数为a,我们已经给出了其收敛的一些判nn=l别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 条件收敛 与绝对收敛。定义10.5对于级数为a，如果级数为I a I是收敛的，我们称nnn=1n=1级数为a绝对收敛。nn=1如果为I a I发散，但为a是收敛的，我们称级数为a条件收nnnn=1n=1n=1敛。条件收敛的级数是存在的，如弋匚1T.nn=1收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条 件收敛与
2、绝对收敛的性质。定理 10.17 绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然. 证明：设级数为a收敛，即为I a I收敛，由Cauchy收敛准nnn=1n=1则，对匕0,存在N,当nN时，对一切自然数p,成 立着 I a I + I a I + I a I&n+1n+2n+p于是:I a + a HF a l I a I + I a I HF I a l&n+1 n+2n+pn+1n+2n+p再由Cauchy收敛准则知为a收敛。nn=1由级数弋(一1)n+1可看出反之不成立。nn=1注：如果正项级数为I a I发散，不能推出级数为a发散。 nnn=ln=l但如果使用 Cauchy 判别法或 DAle
3、mbert 判别法判定出为I a I发散，则级数为a必发散，这是因为利用Cauchy判 nnn=ln=l别法或DAlembert判别法来判定一个正项级数为I a I为发散 nn=l时，是根据这个级数的一般项Ia I当n T+a时不趋于0，因此 n对级数为a而言，它的一般项也不趋于零，所以级数为a发 nnn=ln=l散。例10.38讨论级数为(-1)n+1 n + 2 1的敛散性，如收敛指明 n=1n + 1 V；，nP是条件收敛或绝对收敛。解，当p 2时，因为n + 21lim n +1 四=1nTa 1/而为丄收敛，所以原级数绝对收敛。n八当0 p (n 2 + 4n + 4)n 2 一 (
4、n 2 + 4n + 3)n 2jpppn2(n + 1)(n + 2)n 2 (n +1)20pp(n + 1)(n + 2)n 2 (n +1)2故u 单调减少，且nn + 2 10lim= 0ns n +1、： np由Leibniz判别法知 为(-1) n+1 n + 21收敛，显然 n=1n +1 而为n + 2 1发散，所以当0 p 2时级数条件收敛。n=1n +1、np前面已经指出，一个收敛级数(不论是绝对收敛或条件 收敛)，将其项任意加括号后，得到的新级数仍收敛，这个 性质称为收敛级数满足结合律。下面我们讨论收敛级数的交 换律。设为a是一个级数，将级数项任意交换顺序，得到的新 n
5、n=l级数记为为a/，我们有下列定理：n定理10.18设级数2a绝对收敛，则重排的级数2a/也是 nn n=1n=1绝对收敛的，且其和不变。证明：先设2a是正项收敛的级数，此时有nn=12 a / 2 a =M, 对 m=1,2, , 均成立 nnn=1n=1即正项级数2a/的部分和数列有界，从而2a/收敛, nnn=1n=1且 2 a / 2 annn=1n=1而正项级数2a也可看成是2a/的重排，从而也有nnn=1n=1为 a / 2 annn=ln=l所以2a/ = 2a .nnn=1n=1对一般项级数2a，设21 a I收敛nnn=1n=1I a I+aI a I-aT 记 U = n
6、n , V = nn ,n=1,2, ，n 2 n 2显然有 0 u I a I,0 v 1 2ml再依次考察Q,Q中的各项，设Q是其中第一个满足以下1 2 nl条件的项。p +p + p - Q - Q _- q F1 2ml 1 2nl再依次考察p + p +中的各项，设p是其中第一个满ml +l ml + 2m2足以下条件的项。p1+p2+pm - Q1 - Q2 -Q + p + p+ +pn1m1 +1m1 + 2m2照此下去，我们得到为a的一个重排为a/如下 nnn=1n=1p1+p2+p - Q1 - Q2Qmn+ p + p + pm，i +1m，i+2m2一 Q -Q +p
7、+ n1+1n2m2 +1再分别用Rk与Lk表示级数为a/的末项为p的部分和与末项kknmn=1k p , k=2,3,mk的选取有矛盾。为 Q 的部分和，则有 nk|Rk7mI同理有否则与pLk - g g1 2m11设Q是Q,Q，中第一个满足以下条件的项n 1 2n1p +p + p - Q - Q _- q g 2n2 n2竹+1依次做下去，我们得到为a的一个重排为a/,这个重排级数nn=lnn=l满足条件为 a / = +8.nn=1同样可以得到一个重排，使得兰a/ =-8. n n=1下面我们考察两个级数的乘积。设为a与为b是两个级数,将（为a ）（为b ）定义为下列所有 nnnnn
8、=1n=1n=1n=1项的和abababa b11121314abababab2122232 4abababab 31 ab32 ab33 ab34 ab 41424344由于级数运算一般不满足交换律与结合律。所以这无穷多项如何排序是我们需要考虑的一个问题。事实上，上述无穷多项有很多的排序方式，下面我们介绍两种最常用的排序方式对角线排序法和正方形排序法。定义 10.63b3 a3b4 lb3/ aib42b3以4,4b1a4b2a4b34行it令 c1= a1b1, c2= a1b2+ a2b1, c3= a1b3+ a2b2+ a3b1,Cn= E 吐厂 aibn+a2bn-1 +anbli + j=n+l我们称为c -艺(alb +al 1 +a b )为级数艺n=1n=1Cauchy 乘积abahabahA1 11 21 31 4abababahA2 12 22 32 4abababahA3 13 23 33 4abababah A4 14 24 34 4令 d1= a1b1,d2= a1b2+ a2b2+ a1n2b1n 2 n-1n 1ann=1与为b的nn=1d = a b + a b + a b + a b + a bn 1 n 2 nn n n n-1n 1则级数为d称为级数为a与为b按正方形排列所得的乘积.nnnn=1n=1n=1
