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1、2019届数学人教版精品资料章末复习课 整合网络构建 警示易错提醒1注意轨迹与轨迹方程的区别(1)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围(2)求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程2注意条件，避免忽略隐含条件致错圆的方程问题的破解关键是“圆心”和“半径”，特别是对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即D2E24F0，否则，易造成增解或漏解3注意过程，避免忽略多解致错有关圆的方程的问题在求解的过程中要特别注意漏解的情况，因为决定圆
2、的方程的条件一般是圆心和半径，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生4运用代数法判断两圆位置关系时的易错点用代数法判断两圆的位置关系时，方程组一解或无解时两圆的位置关系不确定，还需进一步判断当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆无公共点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有一个公共点，两圆可能外切也可能内切专题1求圆的方程圆的方程有两种形式，圆的标准方程(xa)2(yb)2r2明确了圆心和半径，圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)体现了圆的二元二次方程的特点在实际求解中常常先求出圆的标准方程，再化简为一般方程，求圆的方程常用的方法为几何法和待定系数法 例1已
3、知ABC的三个顶点分别为A(1，5)，B(2，2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程解：法一设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，由题意可得解得故圆的方程为x2y24x2y200.法二由题意可求得弦AC的中垂线方程为x2，BC的中垂线方程为xy30，由解得所以圆心P的坐标为(2，1)圆半径r|AP|5.所以圆的方程为(x2)2(y1)225，即x2y24x2y200.归纳升华用待定系数法求圆的方程的一般步骤第一步：选择圆的方程的某一形式；第二步：由题意，得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；第四步：代入圆的方程在高考中单独求圆的方
4、程的情况不多，一般在考查直线与圆的位置关系中间接考查变式训练已知A(3，5)，B(1，3)，C(3，1)为ABC的三个顶点，O，M，N分别为边AB，BC，CA的中点，求OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径解：因为点O，M，N分别为AB，BC，CA的中点且A(3，5)，B(1，3)，C(3，1)，所以O(1，4)，M(2，2)，N(0，3)又因为所求圆经过点O，M，N，所以设OMN外接圆的方程为x2y2DxEyF0，把点O，M，N的坐标分别代入圆的方程得解得所以OMN外接圆的方程为x2y27x15y360，圆心为，半径r.专题2直线与圆的位置关系讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特
5、征(方程组解的个数)或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用如直线与圆相交求弦长时，利用公式d2r2(其中，弦长为l，弦心距为d，半径为r)比利用代数法求弦长要简单实用例2(1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切B相交C相离 D不确定(2)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_(1)解析：由题意，知点M在圆外，则a2b21.圆心到直线的距离d1，故直线与圆相交答案：C(2)解：由圆的方程可知，圆心为(2，1)，半径r为2.如图所示，设已知直线被圆截得
6、的弦为AB，取弦AB的中点P，连接CP，则CPAB，圆心到直线AB的距离d|CP|.在RtACP中，|AP| ，故直线被圆截得的弦长|AB|2|AP|.归纳升华1确定直线与圆的位置关系可用几何法，也可用代数法，但代数法计算较为烦琐，而几何法的关键在于比较圆心到直线的距离与半径的大小关系同学们应熟练掌握几何法2求直线与圆相交形成的弦长问题，一般不采用代数法，而是利用圆的几何性质构造相应的直角三角形，利用数形结合求解变式训练(1)已知过点P(2，2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()AB1C2D.(2)求过点A(2，4)向圆x2y24所引的切线方程(1)解析：由题意，
7、知圆心为(1，0)由圆的切线与直线axy10垂直，可设圆的切线方程为xayc0.因为切线xayc0过点P(2，2)，所以c22a，所以，解得a2.答案：C(2)解：显然x2为所求切线之一另设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，而2，所以k，此时直线为3x4y100，所以x2或3x4y100为所求的切线方程专题3圆中的对称问题圆关于点、直线对称的圆形仍然是一个和原来的图形全等的圆因此，求对称的圆的方程，只需要求出圆心关于点、直线对称的点的坐标即可，半径大小不变例3求圆C：(x2)2(y3)21关于直线l：xy10对称的圆C的方程解：法一由条件，知所求圆的圆心C(a，b)与圆C的圆心C(2
8、，3)关于直线l对称故有解得即C(4，3)故圆C的方程为(x4)2(y3)21.法二设M(x，y)为曲线C上的任意一点，并设点M关于直线l: xy10的对称点为M(x0，y0)，则点M(x0，y0)在曲线C上，即(x02)2(y03)21.由题意，得得代入(x02)2(y03)21，得(x4)2(y3)21.故圆C的方程为(x4)2(y3)21.归纳升华点关于点对称，直线关于点对称，主要是利用中点坐标公式；点关于直线对称，利用垂直和中点坐标公式；直线关于直线对称，有可能平行，也有可能相交，都可利用点到直线的距离公式变式训练自点A(3，3)发出的光线射到x轴上，被x轴反射后，其反射光线所在直线与
9、圆x2y24x4y70相切，求入射光线l所在的直线方程解：如图所示，圆C：x2y24x4y70关于x轴对称的圆C为(x2)2(y2)21，由题意设过A点与圆C相切的直线斜率为k，则l：y3k(x3)点(2，2)到直线l的距离为d1，解得k或k.所以入射光线l的方程为：3x4y30或4x3y30.专题4数形结合思想1数形结合的思想方法是一种重要的方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围，其中可先找出要求最值的量的几何意义，再应用平面几何知识求解2与圆有关的最值问题是本章中的一个难点，常见的类型包括以下几种(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离：dmax|OP|r
10、，dmin|OP|r；(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmaxmr，dmin|mr|；(3)已知某点的运动轨迹是(xa)2(yb)2r2，求，x2y2等式子的最值，一般运用几何法求解例4(1)若直线ykx1与圆x2y21相交于P，Q两点，且POQ120(其中O为原点)，则k的值为()AB.C D.(2)若直线ykx1与曲线y有公共点，则k的取值范围是()A. B.C. D0，1解析：(1)法一因为|PQ|2sin 60，圆心到直线的距离d，所以，解得k.法二利用数形结合如图所示，因为直线ykx1过定点(0，1)，而点(0，1)在圆x2y21上，故
11、不妨设P(0，1)，在等腰三角形POQ中，POQ120，所以QPO30，故PAO60，所以k，即直线PA的斜率为.同理可求得直线PB的斜率为.(2)曲线y表示的图形是一个半圆，直线ykx1过定点(0，1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k的取值范围是0，1答案：(1)A(2)D归纳升华此类问题应首先从代数式的几何意义入手，把代数问题转化为几何问题，再作出几何图形，根据图形的几何性质，观察最值出现的位置，从而解决代数式的最值问题，这是用几何方法解决代数问题的常用方法变式训练(1)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6B4C3D2(2)已知实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求xy的最大值和最小值(1)解析：如图所示，圆心M(3，1)与定直线x3的最短距离为|MQ|3(3)6，又圆的半径长为2，故所求最短距离为624.答案：B(2)解：设xyt，由题意，知直线xyt与圆(x3)2(y3)26有公共点，所以dr，即.所以62t62.所以xy的最小值为62，最大值为62.
