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1、第4章 耦合电感和谐振电路(inductor of coupling and resonance circuit )本章主要介绍：耦合电感元件，耦合电感的串、并联；含有耦合电感的正弦电流电路的分析，理想变压器的初步概念;串联谐振、并联谐振的物理现象，谐振条件，谐振特点。4.1耦合电感元件(coupled inductors)磁耦合：两个线圈的磁场存在着相互作用，这种现象称为磁耦合，亦具有互感。 本节只讨论一对线圈相耦合的情况。一.互感 （mutual inductance）1. 互感:当两个电感线圈物理上相互靠近，一个线圈所产生的磁通与另一个线圈相交链， 使之产生感应电压的现象。图为两个有耦合
2、的线圈。设线圈芯子及其周围的磁介质为非铁磁性物质。线圈1的匝数 为1,线圈2的匝数为N2。规定每个线圈电流与电压为关联参考方向，电流与其产生的磁 链（或电流与磁通）的参考方向符合右手螺旋法则，也是相关联。耦合线圈无耦合线圈 自感磁链：L在线圈1中产生的磁通为%及磁链为匕1，即：%1= NFn*在线圈2中产生的自感磁链%2,即：中22 = L22 互感磁链：1在线圈2中产生的磁链%1，即：匕1 = N2气1，M21 一线圈1与2 的互感。2在线圈1中产生的磁链匕2,即：匕2= M12I，M12 一线圈2与1的 互感。由于磁场耦合作用，每个线圈的磁链不仅与线圈本身的电流有关，也和与之耦合的线圈 电
3、流有关，即中=f ( , i )及 中=f ( , i )11 1 2及22 1 2由于线圈周围磁介质为非铁磁性物质，上两式均为线性的，即磁链是电流的线性函数。2. 结论：互感系数：只要磁场的介质是静止的，根据电磁场理论可以证明M12 = M 21， 所以，统一用M表示，简称互感，其SI单位：亨利（H）。 互感的量值反映了一个线圈在另一个线圈产生磁链的能力。互感的大小不仅 与两线圈的匝数、形状及尺寸有关，还与两线圈的相对位置有关。如果两线圈使其轴线平行 放置，则相距越近，互感便越大，反之越小。而两线圈轴线相互垂直，如图所示在这种情况下，线圈1产生的磁力线几乎不与线圈2相交链，互感磁链接近零，所
4、以互感接 近零。 耦合系数：一对耦合线圈的电流产生的磁通只有部分磁通相交链，而彼此不交链的那一部分磁通称为漏磁通。表征耦合线圈的紧密程度，用耦合系数k表示，其定义为k=VL1L20 Wk W1k = 1时称为全耦合（紧耦合）k=0称为无耦合-k值较小称为松耦合 线圈1、2同时分别有电流，1和2时，线圈1、2的总磁链可以看作是，1和2单 独作用时磁链的叠加。取电流和磁通的参考方向符合右手螺旋法则，电压和电流为关联参考 方向，则两个耦合线圈的磁链可表示为中=中+中=Li + Mi111121 1.2.当自感磁链和互感磁链参考方向一致1时，线圈的磁链是增强的，M前面取的是“+”号;当自感磁链和互感磁
5、链参考方向相反时，线圈的磁链是减弱的，M前面取的是“一” 号。二同名端（dotted terminals）1. 同名端定义：当22在耦合线圈中产生的磁场方向一致时，即线圈的总磁链是增强 的，电流1和2流入（或流出）的两个端钮称为同名端。2. 同名端标注的原则：当两电感元件电流参考方向都是由同名端进入（或流出）元件 时，互感为正。3. 同名端标注的符号：用一对“”或“ * ”、“”标记。两个耦合线圈的同名端可以根据线圈绕向和相对位置来判别，也可以通过实验方法确 定。两个耦合线圈的同名端确定之后，便可用图（b）所示的电路模型来表示。例 电路如图所示，试确定开关S打开瞬间，22间电压的实际极性。解：
6、假定及电压u根据同名端原则可得当开关S打开瞬间 d iM的参考方向如图所示，diu m = M-正值电流减小，即dt 0,所以um 0 一 虹 0 一 e d t d t21E v 0 一 虬 v 0 一 e d t d t21当电流为正弦交流量时，互感电压用相量表示为式中Xm =roM称为互感电抗，单位：欧姆。结论：互感电压的方向与两耦合线圈的实际绕向有关。互感电压与产生该电压的电流的参考方向对同名端一致（即相关联）时，互感电压取正，不一致（非关联）时为负。4.2含有耦合电感的正弦电流电路(sinusoidal current circuit with coupled inductors)互
7、感电路：含有耦合电感的电路。（简称互感电路）的正弦稳态计算可采用相量法。分析时要注意耦合电感上的电压是由自感 电压和互感电压叠加而成的。根据电压，电流的参考方向及耦合电感的同名端确定互感电压 的正、负是互感电路分析计算的难点。由于耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还 和与之有耦合支路的电流有关，所以互感电路的分析计算一般采用支路电流法或网孔电流 法。一.耦合电感的串联（series connection of coupled inductors）耦合电感的串联联接有两种方式：顺向串联和反向串联。1. 顺向串联(b)电路图及方程：耦合电感的顺向串联是异名端相接，如图（a）所示。电流是从两电
8、 感的同名端流入（或流出），其线圈磁链是增强的。（a）按图示参考方向，KVL方程为:U = j L I+j M I = j w(L + M) I 111U2 = j L21+ j M I = j w(L2 + M) IU = U + U = j w( L + L + 2 M) I = j LI其中 L=L1+L2+2M 1212等效（去耦等效）电感：L=L1+L2+2M2. 反向串联 电路图及方程：耦合电感的反向串联是同名端相接，如图（a）所示。电流是从一个 线圈的同名端流入（或流出），从另一个线圈的同名端流出（或流入），其线圈的磁链是减弱 的。(b)（a）按图示的参考方向，KVL方程为:U
9、= j 叫 广j M I = j w（L1 - M） IU2 = j L21- j M I = j w（L2 M） IU = U + U = j w（L + L - 2M） I = j LI其中 L=L+L22M 1212等效（去耦等效）电感：L=L1+L2-2M注意：去耦后，耦合电感支路等效为（LM）和（L2-M）,这两者其中之一有可能为负 值。但其耦合等效电感L不可能为负（因为有L+L22M）。二.耦合电感的并联（parallel connection of coupled inductors）耦合电感的并联也有两种方式：同侧并联和异侧并联。1. 同侧并联所示。(b)电路图及方程：耦合电感
10、的同侧并联是两个同名端连接在同一个节点上，如图（a）（a）在正弦稳态情况下，按图示的参考方向有U = j 叫 4+j wMIU = j 叫 J+j wM/因为=4+2，所以上两式可写成，一 U = j wM I+ j w（L - M） 11 U = j wM I+ j w（L - M） 12由上式得到去耦等效电路如图（b）2所示。注意去耦等效之后原电路中的节点A的对应点为 图（b）中的A点而非A点。等效（去耦等效）电感:LL -M2L =匕 + L2 - 2M由图(b)电路可求出等效阻抗为z = j,m , j叫M)-j硕A M)= j. LL-M2 ) j应 j 硕L - M) + j(L2
11、 - M)L + L2 - 2M/示o可以证明，只要改变同侧并联电路图（b）中M前符号就是其等效电路，如图（b）所2. 异侧并联电路图及方程：耦合电感的异侧并联是两个异名端连接在同一节点上，如图（a）所/示oT LL -M2L = 12等效（去耦等效）电感：Li + L2 + 2M3. 耦合电感的两个线圈有一个端钮相连接时耦合电感的两个线圈虽然不是并联，但它们有一个端钮相连接，即有一个公共端，去耦 法仍然适用，仍然可以把有耦合电感的电路化为去耦后的等效电路。如图（a）所示。由图（a）可得U13U23由于1=4+所以上式可写成-U13 = j w（L1 - M） I + j wM IU 23 =
12、 j w（L - M） 12 + j wM I 由上式可得去耦等效电路如图（b）所示。如改变图（a）中耦合线圈同名端的位置，如下图（a）同样可推导其去耦等效电路如下 图（b）o三.含耦合电感电路的一般计算方法(analysis methods circuit with coupled inductors)在计算含有耦合电感的正弦电流电路时，采用相量表示电压、电流，则前面介绍的相量 法仍然适用。但由于某些支路具有耦合电感，这些支路的电压不仅与本支路的电流有关，同 时还与那些与之有耦合关系的支路电流有关，因而象阻抗串并联公式、节点电压法等不便直 接应用。而以电流为未知量的支路电流法、网孔电流法则可
13、以直接应用，因为互感电压可以 直接计入KVL方程中。例 已知图中，L1=1H，L2=2H，M=0.5H，R1=R2=1K Q， 试求电路中电流，及耦合系数K。u = 100sin200兀 t V解：支路的阻抗为Z = 7?i+7?2+J co(Z1+Z2 2M) = 200 0+J 40 Ox Q.所以i =己=423/- 32.FU = 10Z0。V ,R = R = 3Q, roL1121耦合系数为例=roLi = 42.3sin(200兀 t - 32.1。)A7 M 0.5k = 0.3 5 4X：L L 21 2电路如图所示，= 4。,roM = 2Q，试求开路电压2。2=23 6
14、0/+32- r(a)(b)i n解法一：由题意知12 一 0根据图示电路的参考方向可得.M =(&+仙匕1)11+ i = j 9叫1 +(拓+枝4)& + %解得4 = = 10T=- 53.1 七Ai+J oZi 3+j4U2 = .10.1+! = j5x2Z- 5 3.1Q+ 10210：= . 4/10.3。y解法二：原电路的去耦等效电路如图(b)所示/. % =视2i+j oj Zii+M.J + j oj L -M)=史纹1 0/04.3 理想变压器(ideal transformer)一.理想变压器模型3 (ideal transformer model)2. 理想变压器几个参数i ） K=1.理想变压器特性一（ideal1. 理想变压器：是无记忆性，
