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1、本科毕业设计（论文） 定积分的计算和积分不等式定积分的计算和积分不等式摘要：本文首先介绍了定积分的几种计算方法：牛顿莱布尼兹公式，分部积分法，换元积分法，积分值的估计。其次再介绍了积分不等式的几种证明：用微分学的方法证明积分不等式，利用被积函数的不等式证明积分不等式，在不等式两端取变限积分证明新的不等式，利用积分性质证明不等式，利用积分中值定理证明不等式。关键字：定积分；牛顿莱布尼兹公式；分部积分法；换元积分法The Definite Integral Compute and Integral InequalityAbstract: In this paper, firstly, mainly
2、 introduced a few kinds computational method of definite integral: Newton-Leibniz, definite integration by parts, integration by substitution, definite integral by estimate value. Secondly, this paper also introduced a few kinds of integral invariant: using the method of differential calculus to pro
3、ve integral invariant; making use of integrand invariant to prove integral invariant; using transfinite integrate to prove integral invariant; using integral characteristic to prove integral invariant; making use of integral mean value theorem to prove integral invariant.Key word: Definite integral;
4、 Newton-Leibniz; definite integration by parts; integration by substitution.引言数学分析是数学专业中一门重要的基础课，定积分的计算和积分不等式无疑是数学分析中一个重要的方面。定积分的思想源远流长，古希腊德谟克利特的“数学原子论”、阿基米德的“穷竭法”、刘徽的“割圆术”都是积分思想的雏形，并且用这些方法求出了不少几何形体的面积和体积；然而这些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也不是以严密的理论为基础的。随着数学科学的发展，借助于生产力空前发展的强大推动，出现了开普勒的“同维无穷小方法”，卡瓦列利的“不可分量法
5、”、费马的“分割求和方法”，到17世纪终于发生了由量变到质变的飞跃。牛顿与莱布尼兹揭示了微分与积分的内在联系微积分基本定理，从而产生了威力无比的微积分，使数学从常量数学跨入了变量数学，开创了数学发展的新纪元。这就是定积分的背景。定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要里程碑。现在定积分已广泛应用于自然科学、技术科学、社会科学、经济科学等领域。在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的。我们使定积分真正成为解决许多实际问题的有力工具，促进了积分学的迅速发展。定积分的计
6、算和积分不等式是数学分析的重要内容，定积分的计算方法丰富多彩，许多积分不等式具有重要的应用价值。所以我们要研究定积分的计算和积分不等式的目的就是：1学会用定积分解决问题，进一步体会学习定积分的必要性。2.掌握定积分的常用计算方法，如变限的定积分的概念，微积分的基本定理和换元积分法及分部积分法等。3.了解积分不等式的常用的证明方法。4.了解定积分相关的知识的综合应用。定积分是高等数学的一个重要内容，在理论研究和实际应用中。许多问题都可以归结为计算定积分的问题。在定积分中，不仅概念多，而且定理，公式亦处处可见，因此对定理，公式要深入的把握。因此，定积分的计算是很重要的。在计算中，如能直接应用公式，
7、则将会既简捷，又准确，起到事半功倍的作用。在本文中，本人首次尝试对其中一个定理进行证明以及一些计算，下面我们就定积分的计算和积分不等式此论题进行讨论。一、定积分的计算(一)、牛顿莱布尼兹公式1、定理4（牛顿莱布尼兹公式）：若函数f在a,b上连续，且存在原函数F ，即=，xa,b，则f在a,b上可积，且=- 这称为牛顿莱布尼兹公式，它也常写成=|注（i）牛顿莱布尼兹公式简称NL公式，它是微积分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种表达形式。（ii）NL公式的证明可由Riemann积
8、分的定义及微分中值定理（作用在F上）可推得。例1 说明“使用”牛顿-莱布尼兹公式为何产生下列错误？ （1）=2 ； （2）=0 .解 （1）中被积函数无界、不可积；（2）中被积函数在间断点x =处极限存在，故可积，但是在x =处有无穷间断点，因此不合公式条件。例2 计算误解：可以证明=则由微积分基本公式得：=0分析：因为 =0所以 0显然上述结论是错误的。原因：原函数=在0，2上有间断点X=1。正确的解法：令 则在0，2上连续且=所以，由上述定理3知 =-=+ 0 -0 =例3 利用定积分求下列极限 = J （1-1）解 这类问题的解题思想，是要把所求极限化为某个函数f ( x )在某一区间a
9、 ,b上的积分和的极限。然后利用牛顿莱布尼茨公式计算J = 的值。由（1-1）式中的根式不是一个和式，而是一个连乘积，因此可望通过求对数后化为累加形式，为此记不难看出，是函数在区间0，1上对应于n等分分割，并取，i =1,2, n 的一个积分和。由于 在0，1上连续，且存在原函数，故由定理知道0，1，且有。于是就可求得. 注：上面也可看作在1，2上的一个积分和，或者，是在2，3上的一个积分和，亦即 。 (二)、定积分换元积分法和分部积分法1、定理4（定积分换元积分法）：若函数f在a ,b上连续，在 , 上有连续可微，且满足= a，= b，a b，t , ，则有定积分换元公式：=.注（i）定积分
10、换元积分公式由复合函数微分法及NL公式可得。(ii)定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的直接应用，只不过使用时有较大差别：在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）。(iii)对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不需作更改（即仍然采用原来的积分变量）。（iv）（注意：文中以下提到的C是连续函数的集合，R是Riemann可积函数的集合，在此说明。不另外提示。） ,可减弱为R ,。进一步，定积分换元积分公式中的f a ,b可减弱为f a ,b，但若的条件稍许加强（证明较为复杂），则有以下的命题成
11、立：若f a ,b，： ,a ,b是一一映射而且还满足=，=，a ,b，那么有=.证 设a b,（即为增函数）。对任何分割通过令，i=1,2,n得到对a ,b的一个分割.由于在 ,上一致连续，故当时必有，i=1,2,n，作积分和；令，并记.由于，使，i=1,2,n，因此有 .于是，由假设，可知另一方面，当设，时，由在 ,上一致连续，使时，恒有 ，i=1,2,n.于是又有 .由此可见， 即 例4 计算解1 令，得。有.解2 令，得，有。解3 令，得，有.小结 例4的三种解法借助于换元积分法，巧妙地运用了对数函数和三角函数的公式进行恒等变形，从而实现了被积函数的转化。例5 设函数和在对称区间上连续
12、。若满足条件(常数)且是偶函数，证明：并由此计算积分 (此题是1995年考研试题(三)中的第八题。)证 因为函数和在对称区间上连续，得 其中，将代入下式：. 因此， 证明成立。那么根据上述题目已知，我们在中很容易发现，就是上述的，就是上述的，所以由我们所证的可得 由上面的结论可知 ，那么 即 .所以 ， 代入 .得 .再来看 = = 2所以 =.例6 证明：（1），；（2）若f 在0,1上连续，且满足，k=0,1,n-1,则有 .证 （1）利用换元积分法，可得（2）首先，由条件可知 ；又由积分第一中值定理，使得 ；再由上面（1），又得 .这就证得 .2、定理（定积分分部积分法）4：若、为a ,
13、b上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式： .注 （i）分部积分可由乘积微分法则及N-L公式直接证之。（ii）分部积分公式可连续使用n次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若u、v具有n+1阶连续导数，那么有 (n=1,2,3,)。例7 设f 在a ,b上有连续的二阶导函数，且f (a) = f (b) =0。证明：（1）；（2）.证 （1）利用分部积分法，可得 移项后即得结论成立。（2）一种证法是直接利用（1）的结论：其中的 .例8 设f 连续，f (1) = 1, .试求：.解 令 2x - t = u, 则于是有 两边关于x求导得 再令x=1可得.3、用定积分换元积分法与分部积分法推得的某些特殊结论：1(1)、若f (x) 为以 p为周期的连续周期函数，则有（2）、若，则 （3）、若，则；（4）、若，则；（5）、沃利斯（Wallis）公式： ；（6）、带积分余项的泰勒公式：若f (x) 在a ,b上具有阶连续导数，那么，,有，即，称此为泰勒公式的积分余项.例9 （01）解 = =例10 .解 依据结论10：若f(x)在区间单调、连续，其反函数为。且。则。令 ，得
