必修二立体几何初步知识点整理[1]

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1、必修二立体几何初步知识点整理一、基础知识（理解去记）（一）空间几何体的结构特征（1）多面体由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共 点叫做顶点。旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直 线称为旋转体的轴。（ 2）柱，锥，台，球的结构特征1. 棱柱AB1.1 棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关 系：棱柱 直棱柱J正棱柱 I其他棱柱斜棱

2、柱四棱柱I底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面.直平行六面体I底面为矩形长方体I底面为正方形 I正四棱柱I侧棱与底面边长相等 正方体1.3棱柱的性质： 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 补充知识点长方体的性质： 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】AC 2 二 AB2 + AD2 + AA 211 （了解）长方体的一条对角线ACi与过顶点A的三条棱所成的角分别是g卩，Y，那么 cos2 g + cos2 卩 + cos2 丫 = 1， s

3、in2 a + sin2 卩 + sin2 丫 = 2 ； （了解）长方体的一条对角线ACi与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是a，卩，,则cos2 a + co 卩 + cos 丫= 2 sin2 a + sin2 卩 + sin2 丫= 1.1.4侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.5 面积、体积公式：S= c h直棱柱侧S= c h + 2S ,直棱柱全 底V = S h棱柱 底（其中c为底面周长，h为棱柱的咼）3.1 棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点 的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥一一如果有一个棱锥的

4、底面是正多边形，并且顶点 在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2棱锥的性质： 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶 点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥中六个兀素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射高侧棱底面顶点侧面斜高2. 圆柱2.1 圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形 成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截 面（轴截面）是全等的矩形.2.3 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的 矩形.2.4 面积、体积公式：S

5、圆柱侧=2兀rh ； S圆柱仝=2兀rh + 2兀r2, V圆柱=S 底h=兀r2h （其中r为底面半径，h为圆柱高）圆柱侧圆柱全圆柱 底3. 棱锥影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：门SOB，门SOH,n SBH厂OBH 为直角三角形）3.3 侧面展开图：正 n 棱锥的侧面展开图是有 n 个全等的等腰三角形组成的。34面积、体积公式：S正棱锥侧=2ch ,S正棱锥仝=2ch + S底，V棱锥=3s底.h .（其中c为底面周长，h侧面斜咼，h棱锥的咼）4. 圆锥4.1 圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋 转而形成的曲面所围成的几何体叫圆

6、锥。4.2圆锥的性质： 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 轴截面是等腰三角形；如右图：口 SAB如右图：l2 = h2 + r2.4.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母 线长为半径的扇形。4.4 面积、体积公式：s圆锥侧兀刃，s圆锥全=兀r（r+1），v圆锥=3兀厂2 h （其中r为底面半径，h为圆锥的高，1为母线长）5. 棱台5.1 棱台一一用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台.球面-01ACOc二）空间几何体的三视图与直观图5.2正棱台的性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯

7、形; 正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； 如右图：四边形OMN0,0BBO都是直角梯形 棱台经常补成棱锥研究.如右图： DSOM与SO N，口S、O B与SO B相似，注意考虑相似比.5.3棱台的表面积、体积公式：S =S +S +S侧，全 上底 下底 侧v =1（s+-SS7+s、）h,（其中s,s是上，下底面面积，h为棱 棱台 3台的高）6. 圆台6.1圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间 的部分叫做圆台.6.2圆台的性质： 圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆; 圆台的轴截面是等腰梯形； 圆台经常补成圆锥来研究。如右图：QSO A与 SOB相似，注意相似比的

8、应用.6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；64圆台的表面积、体积公式：S全二兀r2 +兀R2 +兀（R + M，V 圆台二Us+jSF + S）h=-（兀r2 +兀rR + 兀R2）h ,（其中 r, R为上下底面半径， h 为高）7. 球7.1球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. 或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球 7.2球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面； r =、；R2 -d2 （其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）7.3球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体

9、等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.47.4球面积、体积公式：S = 4兀R2,V =；兀R3 （其球球 3中R为球的半径）1. 投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2. 三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 正视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图侧视图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图正视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图 相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”

10、.（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3. 直观图：3.1 直观图是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画 出的空间图形。3.2斜二测法：stepl：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy,（即取xoy = 90。）；step2:画直观图时，把它画成对应的轴ox,oy，取厶oy = 45or135。，它们确定的平面表示水平平面； step3:在坐标系xoy中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。结论：一般地，采用斜二测法作出的宜观图面积是原平

11、面图形面积的倍.4解决两种常见的题型时应注意:（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。二 点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质1. 平面无限延展，无边界11三个定理与三个推论公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.图形语言：符号语言：公理2：不共线的三点确定一个平面.图形语言：推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.图形语言：推论2：两条相交直线确定一个平面.图形语言：推论3：两条平行直线确定一个平面.图形语言： 用途：用于确

12、定平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的 交线）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.图形语言：符号语言：图形语言，文字语言，符号语言的转化：图形语言文字语言符号语言点A在直线a上 点B屋直线a外亠-1总汀B点A在m 点B在円王面a外 王面a曲-1 *= 01直线a在平面a内 直线b在平面a外c U(Xb Ua直线a与平面a相交于点A a（）a=A直线a与直线b交于点A aQb = A（二）空间图形的位置关系aflp = a1.空间直线的位置关系：共面:ap|b二A,a/b 异面:a与b异面平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条

13、直线互相平行。符号表述：a/b,b/c n a/c等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。图形语言：符号语言：A ea a uaPA与异面异面直线所成的角：（1）范围：9 e（0。,90。；平移法.2）作异面直线所成的角：如右图，在空间任取一点O,过O作a/a,b/b，则a: b所成的9角为异面直线a,b所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的 特殊点（如线段中点，端点等）

14、上，形成异面直线所成的角.l ua2直线与平面的位置关系:|1 “卩AIl / a（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1线面平行： 定义：直线与平面无公共点.a / b、 判定定理：a ZU a / a （线线平行n线面平行）【如图】b uaa / a 性质定理：a u卩a/b （线面平行n线线平行）【如图】ap| 卩二b判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：la = 0nl/aa / ba Wan a/a “线线平行n面面平行”（用于证明）; b uaiii)a / 卩、 na ua（用于判断）;（ii）判定定理： a /卩“面面平行n线面平行”b丄a（用于证明）；（4）b丄幺n a/a （用于判断）;a xa2线面斜交：l门a = A直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该 斜线在平面内射影的夹角。【如图】PO丄a于O,则AO是PA在平面a内的 射影，则ZPAO就是直线PA与平面a所成的角。范围：90。,90。, 注:若l ua或l/a，则直线l与平面a所成的角为0。；若l丄a,则直线l与平面a所成的角为90。3面面平行： 定义：幺门卩=0a/卩；