直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用过定点(，)的直线系方程:(A,B不同步为0）.例 １ 求过点圆的切线的方程.分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法. 解析：设所求直线的方程为（其中不全为零）， 则整顿有， ∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径1,故， 整顿,得，即(这时）,或． 故所求直线l的方程为或.点评：对求过定点（,）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为： ，注意的此方程表达的是过点的所有直线(即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制,在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地避免解题浮现漏解或错解的现象．练习： 过点作圆的切线l,求切线ｌ的方程． 解:设所求直线ｌ的方程为（其中不全为零)， 则整顿有， ∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径1，故, 整顿,得，即(这时），或. 故所求直线l的方程为或．２、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线:（不同步为0）与:(不同步为0)交点的直线系方程为：(,为参数).例２ 求过直线：与直线:的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程．分析：本题是过两直线交点的直线系问题,可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为:,当直线过原点时,则=0，则=－1，此时所求直线方程为：；当所求直线但是原点时,令=0，解得＝,令=0，解得=，由题意得，＝，解得,此时,所求直线方程为:.综上所述，所求直线方程为：或.3、求直线系方程过定点问题例3 证明：直线(是参数且∈Ｒ）过定点,并求出定点坐标．分析:本题是证明直线系过定点问题,可用恒等式法和特殊直线法.解析：（恒等式法）直线方程化为:,∵∈Ｒ, ∴，解得,,,∴直线(是参数且∈R)过定点(1,1）.（特殊直线法）取＝0,=1得,，,联立解得，，，将（1,1）代入检查满足方程,∴直线（是参数且∈R)过定点（1，1）．点评：对证明直线系过定点问题，常用措施有恒等式法和特殊直线法,恒等式法就是将直线方程化为有关参数的恒等式形式,运用参数属于Ｒ，则恒等式个系数为０,列出有关的方程组,通过解方程组,求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值,得到两条特殊直线,通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检查，即得定点.一、常用的圆系方程有如下几种：1、觉得圆心的同心圆系方程: 与圆+＋+F＝０同心的圆系方程为:++＋=０2、过直线＋+Ｃ＝０与圆+＋＋Ｆ=0交点的圆系方程为：+++Ｆ＋（+＋Ｃ）＝０(Ｒ）3、过两圆:＋=0,:＋=０交点的圆系方程为:+＋（+）＝0（≠-１,此圆系不含:+=0）特别地，当＝-１时，上述方程为根轴方程.两圆相交时,表达公共弦方程；两圆相切时，表达公切线方程.注:为了避免运用上述圆系方程时讨论圆,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:二、圆系方程在解题中的应用:１、运用圆系方程求圆的方程:例 求通过两圆x２+y２+6ｘ－４=０和x2+y２+6y-２8=0的交点，并且圆心在直线x－y-4=0上的圆的方程。
例1、求通过两圆+3--2＝0和+2+＋1=０交点和坐标原点的圆的方程.解:措施3:由题可设所求圆的方程为: (＋３－－2)+（＋2+＋１)＝0∵ （0，０）在所求的圆上,∴ 有-２＋＝0. 从而=２故所求的圆的方程为： 即 +7＋＝０练习:求通过两圆x2＋ｙ2＋６x-4=0和x2+y2+6ｙ-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-４＝0上的圆的方程.1解: 构造方程 ｘ2+y２＋６x-4＋λ（x２+y2+6y-2８)=0即 (１+λ)x2+（1+λ)y2+６x+6λy-(4+2８λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为当该圆心在直线x-ｙ-4＝0上时,即 ∴ 所求圆方程为 x2+y2-x+7y-3２＝0 2、运用圆系方程求最小面积的圆的方程:例2（1）:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程 分析:本题若先联立方程求交点,再设所求圆方程,谋求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行为了避免讨论,先求出两圆公共弦所在直线方程则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题解:圆和的公共弦方程为过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意,欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。
即,则代回圆系方程得所求圆方程例2(２); 求通过直线:2+＋４=0与圆Ｃ:+2-4+1=０的交点且面积最小的圆的方程．解:设圆的方程为：＋2－４＋1＋(2＋+4)=０即+＋(１+4）=０则,当=时，最小，从而圆的面积最小,故所求圆的方程为:+26-1２＋37＝０练习:１.求通过圆x2+y2+8ｘ-6y+2１=0与直线ｘ－y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程常数项为零）2．求通过圆x２+ｙ2+8x-6y+２１=0与直线x－y+５=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程圆心的纵坐标为零)３.求通过圆ｘ2+y2＋8x－6y+2１=0与直线x－y＋5＝0的两个交点且面积最小的圆方程半径最小或圆心在直线上）4.求通过圆ｘ2+y2+8x-6y+2１=0与直线x-ｙ+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标圆心到x轴的距离等于半径)3、运用圆系方程求参数的值：例3：已知圆与直线相交于P,Q两点，O为坐标原点,若,求实数ｍ的值分析:此题最易想到设出，由得到，运用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出有关m的方程,最后验证得解倘若充足挖掘本题的几何关系,不难得出O在以PQ为直径的圆上。
而Ｐ，Q刚好为直线与圆的交点,选用过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程解:过直线与圆的交点的圆系方程为：,即 ………………….①依题意，O在以PＱ 为直径的圆上，则圆心显然在直线上，则，解之可得又满足方程①,则，故４、运用圆系方程判断直线与圆的位置关系:例4 圆系+2+(4+10）＋１0+20=0(Ｒ，≠-１)中，任意两个圆的位置关系如何？解:圆系方程可化为：+10＋２0+(2+4＋10）=0∵ 与无关 ∴ 即易知圆心(0,－５）到直线＋２+５＝0的距离恰等于圆=5的半径．故直线+2＋5=0与圆＝５相切,即上述方程组有且只有一种解,从而圆系方程所示的任意两个圆有且只有一种公共点，故它们的关系是外切或内切.总结:在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时,若能巧妙使用圆系方程,往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果 练习：一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程例1求过圆:++＋1=0与圆：+＋＝0的交点，圆心在直线：的圆的方程.分析:本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.解析：设所求圆的方程为:+++1+＋+)=０(≠).整顿得 =０，因此所求圆的圆心为,由已知知所求圆的圆心在直线：上，因此＝0,解得,=，代入圆系方程整顿得，因此,所求圆的方程为.点评:对过两圆交点的圆的问题,用过两圆的交点的圆系方程求解,可以优化解题过程,注意过交点的圆系方程表达的圆涉及哪一种圆不涉及那一种圆,且参数不等于这一条件,同窗们应较好掌握这一措施.二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程例2已知圆O：和圆外一点A（３,４），过点Ａ作圆O的切线,切点分别为C、D,求过切点C、D的直线方程.分析:本题是求过切点的直线方程,由切线性质知,切点在以线段AＯ为直径的圆上,故直线ＣＤ是以线段ＡO为直径的圆与圆O的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.解析：由切线性质知，切点C、D在以线段AＯ为直径的圆上,由题知，O(1,）,∴|AO|==,线段AO的中点为(2，1）,∴以线段AO为直径的圆的方程为，，即,圆Ｏ的方程与以ＡO为直径的圆的方程相减整顿得:+＋3=0，∴直线CD的方程为+＋３=0.点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆,运用过两圆交点的曲线系方程求直线方程,注意过两圆交点的曲线系方程参数为什么值时表达圆，参数为什么值时表达直线.例如：求与圆x2+y2－4x－2y-2０=0切于A(―1,―3),且过B(２,0)的圆的方程。
解：过A(―1,―3)的圆的切线为:３ｘ+４y+15＝0与已知圆构造圆系：x2＋y２－4x－2y-20+l(3x+４y＋1５)=0∵曲线过B（2，０)∴l=∴所求的方程为：7ｘ2+7y２－4x+18y-２0=0例2平面上有两个圆，它们的方程分别是x2+y2=1６和x2+y2－6x+8y+24=0,求这两个圆的内公切线方程分析：由ｘ２+ｙ2－6x+８y+2４=0Þ(ｘ－3）２+（y+4）2=1,显然这两圆的关系是外切解: ∵x2+y2-6ｘ+8y+24＝0Þ(x-3)2＋（ｙ＋4)2=１∴这两圆是外切∴(x2+y2－６x+8ｙ+24)-(x2＋y2－16)＝０Þ３x－4y－2０=0∴所求的两圆内公切线的方程为：3x-４y-２０=0学生注意：对于不同心的两个圆C1：x２+ｙ2+D１x+E1ｙ+F1=0, C２:ｘ2+y２+Ｄ2x+Ｅ2y+Ｆ2=0，圆系方程C1＋lC2＝０补充：。