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1、偏微分方程数值解法课程设计报告课 程：偏微分方程数值解法 题 目: 基本迭代法的运用 年 级：专 业：学 号:姓 名：指导教师：【摘要】该课程设计是根据教材中的实习题的要求进行分析研究以及实际操作 后，再对其内容进行拓展，主要运用四种迭代法Jacobi迭代，Guass-Seidel迭代 以及SOR迭代对这三种方法运算的速度、结果、误差、精度等进行比较，并画出 数值解与精确解的三维图进行比较分析，分析这四种算法的优缺点，在不同的情 况下使用不同的迭代方法。【关键词】Jacobi迭代；Guass-Seidel迭代；SOR迭代；数值解；精确解；三维 图一、绪论1、关于偏微分方程数值解法偏微分方程数值
2、解法是计算数学专业的一门重要的专业基础课。它不仅 对学生今后从事科研具有居高临下的指导作用，而且对于学习其他后继课程和解 决一些实际问题都是一门重要的工具，同时对于训练思维能力起着很大的作用。本课程主要讨论三类典型方程边值或初边值问题的差分方法，即椭圆边值问 题的有限差分方法，抛物型初边值问题的有限差分方法，双曲型初边值问题的有 限差分方法。介绍各种实用的差分格式的构造，差分格式的稳定性分析，并比较 差分格式的构造思想及相互联系。简单介绍变分方法与泛函极值问题，椭圆边值 问题的有限元方法概要。2、偏微分方程数值解法课程设计的目的本课程是信息与计算科学专业本科生必修的专业课程，借助计算机对科学与
3、 工程计算中的问题进行数值求解。本课程的主要任务就是研究如何应用计算机去 获得偏微分方程数值解的方法及相应的基本理论.通过本课程的学习，使学生能 够掌握偏微分方程数值方法的基本理论和分析问题、解决问题的基本方法与技 巧，以及良好的编程和上机调试能力，为今后解决实际问题或从事专门信息处理 奠定良好的数学基础。要求学生掌握偏微分方程差分方法的基本理论和基本技 巧，掌握一些典型、常用、有效的数值格式的构造方法，较熟练地在计算机上实 现。二、主要内容1、课程设计名称基本迭代法的运用2、课程设计目的1) 掌握偏微分方程数值解法的差分方法的基本原理和基本技巧。2) 掌握基本的迭代方法并能灵活运用。3) 培
4、养良好的编程与上机调试能力。3、课程设计要求1) 要求写出基本迭代方法的迭代格式。2) 要求编写matlab程序，画出必要的函数图形并进行分析。3) 要求写出结论与分析以及总结与体会心得。4、课程设计题目求解边值问题：A u = 2兀 2 e 兀(x+y) (sin 兀x cos 兀y + cos 兀x sin 兀y),(1 1) (x, y) e G = (0,1) x (0,1),u = 0, (x, y) e dG.取步长h1=h2=1/16 ,1/32 , 1/48 , 1/64做五点差分格式，用 Jacobi迭代， Gauss-Seidel迭代和SOR法(取w=wopt)求解差分方程
5、，以前后两次重合到小 数点后四位的迭代值作为解的近似，比较三种方法的迭代次数以及差分解(h1=h2 1/32 ,1/48，1/64)，然后与精确解进行比较(精确解为u (x, y) = e 兀(x+y) sin 兀x sin 兀 y )。5、课程设计细则网格剖分取步长h=l/N,做正方形网格剖分，贝U逼近(1-1)的五点差分格式为:u u + 4 u u u h2 f ,(1 2)i-1, ji, j 1iji +1, ji, j +1ij 1)，其中是Bopt的按模最大特征值。由(1-13)可以看出，关于SOR迭代法，有(1) 显然，当o = 1时，SOR迭代法即为Guass-Seide迭代
6、法。(2) SOR迭代法每迭代一次主要运算量是计算一次矩阵与向量的乘法。(3) 当o 1时，成为超松弛法；当ol时，称为低松弛法。(3)迭代法的控制这里我们同时使用两种控制方法，一是限制迭代次数，这里我们程序中限制20000次，二是当相邻两次的迭代结果之差小于某个值，即满足|u( k+1)- u( k)| =n)j=j+1；A(i,j)=1/hA2;A(j,i)=1/hA2;endendfor i=1:(n-1)A2A(i,i)=-4/hA2;endj=0；for i=2:(n-1)A2j=j+l;if(mod(j,n-l)=0)A(i,j)=1/22;A(j,i)=1/hA2;endendA
7、;D=diag(diag(A);L=tril(A,_1);R=triu(A,1);L=sparse(L);R=sparse(R);Z=speye(1);x=1/n:1/n:(n-1)/n;y=1/n:1/n:(n-1)/n;X,Y=meshgrid(x,y);Z1=exp(pi*(X+Y).*sin(pi*X).*sin(pi*Y);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z1); %精确解图像title(精确解图像)；xlabel(x);ylabel(y);zlabel(u);%Jacboi迭代使用G=-inv(D)*(L+R);H=inv(D)*b;%Guass-Seide 1 迭代使用M=inv(D+L);M=sparse(M);R1=-M*
