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1、第三届中国数学奥林匹克 (1988年)1. 设a1, a2, . , an是给定的不全为零的实数，r1, r2, . , rn为实数，如果不等式 r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+.+rn(xn-an)(x12+ x22+ . + xn2) + (a12+ a22+ . + an2) 对任何实数x1, x2, . , xn成立，求r1, r2, . , rn的值。 2. 设C1、C2为同心圆，C2的半径是C1的半径的2倍，四边形A1A2A3A4内接于C1，将A1A4延长，交圆C2于B1。设A1A2延长线交C2于B2，A2A3延长线交圆C2于B3，A3A4延长线交圆C2于B4。试证：四边形
2、B1B2B3B4的周长2(四边形A1A2A3A4的周长)。并确定的号成立的条件。 3. 在有限的实数列a1, a2, . , an中，如果一段数ak, ak+1, . , ak+l-1的算术平均值大于1988，那么我们把这段数叫做一条“龙，并把 ak叫做这条龙的“龙头(如果某一项an1988，那么单独这一项也叫龙)。 假设以上的数列中至少存在一条龙，证明：这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定大于1988。 4. (1)设三个正实数a、b、c满足(a2+b2+c2)22(a4+b4+c4)。 求证：a、b、c一定是某个三角形的三条边长。 (2)设n个正实数a1, a2, . , an满
3、足 (a12+ a22+ . + an2)2(n-1)(a14+ a24+ . + an4)其中n3。 求证：这些数中任何三个一定是某个三角形的三条边长。 5. 给出三个四面体AiBiCiDi(i=1, 2, 3)，过点Bi、Ci、Di作平面i、i、i(i=1, 2, 3)，分别与棱AiBi、AiCi、AiDi垂直(i=1, 2, 3)，如果九个平面i、i、i(i=1, 2, 3)相交于一点E，而三点A1、A2、A3在同一直线l上，求三个四面体的外接球面的放条(形状怎样？位置如何？)。 6. 如n是不小于3的自然数，以f(n)表示不是n的因子的最小自然数，例如f(12)=5。如果f(n)3，又可作f(f(n)。类似地，如果，f( f(n) )3，又可作f( f( f(n)等等。如果f( f(.f(n) .) =2，共有k个f，就把k叫做n的“长度。如果ln表示n的长度，试对任意自然数n (n3)，求ln。并证明你的结论。
