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1、高一数学同步教程(上)空间几何体精讲空间几何体的结构和视图（一）柱、锥、台、球的结构特征1、柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
2、都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体；2、锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。3、台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥
3、，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。4、球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。5、组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。（二）空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。具体包括：1、正视图：物
4、体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；2、侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；3、俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；（三）空间几何体的直观图1、斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的、，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的，使（或），它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助
5、线（虚线）。（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点精导空间几何体的定义例1 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ）A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上斜二测画法例3是正的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么的面积为_（三）平行投影与中心投影例4 （1）如图，在正四面体中，、分别是三角形、的中心，则在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ ） A B C
6、D（2）如图1，、分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是图2的（要求：把可能的图的序号都填上）三视图例5 （1）画出下列几何体的三视图（2）（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）精讲空间几何体的表面积和体积一、要点透析（一）多面体的面积和体积公式名称侧面积()全面积()体 积()棱柱棱柱直截面周长直棱柱棱锥棱锥各侧面积之和正棱锥棱台棱台各侧面面积之和正棱台表中表示面积，、分别表示上、下底面周长，表斜高，表示斜高，表示侧棱长名称圆柱圆锥圆台球(即)（二）旋转体的面积和体积公式精导柱体的体积和表面积例1一个长方体全面积是，所有棱长的和是，求
7、长方体的对角线长例2如图1所示，在平行六面体中，已知，（1）求证：顶点在底面上的射影在的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积例3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）A B C6 DPABCDOE锥体的体积和表面积例4在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，对角线与相交于点，平面，与平面所成的角为，求四棱锥的体积？例5是边长为4的正方形，、分别是、的中点，垂直于正方形所在的平面，且，求点到平面的距离？棱台的体积、面积及其综合问题例6如果棱台的两底面积分别是、，中截面的面积是，那么（ ）A BCD例7已知正六棱台的上、下底面边长分别为和，高为，则其体积为（ ）ABCD圆
8、柱的体积、表面积及其综合问题例8（全国理）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是ABCD例9如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水。若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高，则圆锥的体积、表面积及综合问题例10在中，（如图所示），若将绕直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）ABCD例11若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（ ）ABCD例11(1)例11（2）例12如图所示，是圆锥底面中心到母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A B C D球的体积、表面积例13已知过球面
9、上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。例14如图所示，球面上有四个点，如果两两互相垂直，且，求这个球的表面积例15如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（ ）ABCD例16半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。精炼【双基训练】1说出下列三视图表示的几何体是（ ）A.正六棱柱 B.正六棱锥 C.正六棱台 D.正六边形2如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且 均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为A. B. C. D.3（2009山东卷文理4）
10、一空间几何体的三视图如图所示,则该几 俯视图 何体的体积为 ( ) A. B. C. D. 4等腰梯形ABCD,上底边CD=1, 腰AD=CB= , 下底AB=3，按平行于上、下底边取轴则直观图ABCD的面积为_6题图5题图5如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为4的正三角形，D是BC的中点，A1D平面ABC.(1)求证：BCA1A； (2)若A1A6，求三棱柱ABCA1B1C1的体积6如图，已知ABC中，BAC90，ABm，ACn将ABC以BC边为轴旋转一周，得到一个几何体(1)求此几何体的体积；(2)设ABC的面积为，求该几何体体积的最大值挑战高考1（2012年上海卷 理8）若一个
11、圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 2（2012年上海卷 文5）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 空间中的平行关系精讲平面概述1、平面的两个特征：无限延展 平的（没有厚度）2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面3、平面的表示：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面三公理三推论：公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：，公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面推
12、论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面空间直线：1、空间两条直线的位置关系：相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点； 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点；相交直线和平行直线也称为共面直线异面直线的画法常用的有下列三种：2、平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行3、异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：与是异面直线直线和
13、平面的位置关系1、直线在平面内（无数个公共点）；2、直线和平面相交（有且只有一个公共点）；3、直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类。它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）1、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。 定理的模式：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行推论
