《阿贝尔分部求和公式地推广与应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《阿贝尔分部求和公式地推广与应用（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、WORD格式关于阿贝尔分部求和公式引理 Abel 变换设 an, bnp1是两数列，记 Bki1bi k 1,2,. ，那么pp 1k 1akbka pbpak 1 ak Bkk 1证明：把等式左边展开得 :pakbkk 1pa1B1k 2 ak BkBk 1ppa1B1k 2 ak Bkk 2 ak Bk 1p1p 1k 1 ak Bkk 1 ak 1 Bkap B pa pB pp 1ak 1 ak Bkk 1上式也称为分部求和公式a5a4a3a2a1上B1B2B3B4B5图是当an0,bn0 ，且an单调增加时， Abel 变换的直观的示意图中矩形0, B50, a5被分割成9个小矩形，
2、根据所标出的各个小矩形的面积，即得到p=5 的 Abel 变换：54ak 1 ak Bkk 1 akbka5 B5k 1事实上， Abel 变换就是离散形式的分部积分公式记 G xxg (t)dt , 那么分a专业资料整理WORD格式部积分公式可以写成专业资料整理WORD格式bf (x) g( x)dx f (b) G(b)baa G (x)df x 将数列的通项类比于函数，求和类比于求积分，求差类比于求微分，ak 1ak对应于 dfx ，那么两者是一致的三阿贝耳分部求和公式的推广及应用一关于数论方面的推广和应用定理 1设 x1，b( n)是一个数论函数，B xn xb n 再设 a x 是区
3、间x1 , x2上的连续可微函数，x2 x10. 那么有a n b na x1 B x1x2 B x a x dx xnxa x2 B x2x112证明：设 n1 x1， n2 x2我们有约定 B 0 0a(n)b(n) =a n b nx1n x2x10,对一切 k，成i 11,2,. 为有界数列，即存在立Bk M ，那么pk 1 akbkM a12 ap证明：由 Abel 变换可得，pp 1p 1k 1 akbkap B pk 1ak 1 a k BkM apk 1ak 1 ak由于 ak 单调，所以专业资料整理WORD格式p 1k 1pak 1 ak ap a1专业资料整理WORD格式a
4、kbkMa12 apk1定理 1 级数的 Abel 判别法an 单调有界，bn 收敛，那么级数bnn 1n 1 an敛证明：设anM ，由于收敛，那么对于任意给定的0，存在正整n 1 bn数 N，使得对于一切 nN和 pN ,成立p nbk.k 1 n专业资料整理WORD格式p n对于 k1 n bkak应用Abel引理，即得p nk 1 n bkakan 12 ap n3M .定理2 阿贝耳定理设 n0ans,那么x1 n0an xn s.lim证明：容易看出nf ( x)在 0x1 上为一致收敛事实上，对a n xn0np任给正数，有 N 使得当 nN 时knak从而由阿贝耳引理可知同时有
5、n pnk nak xkx，只要 0 x1 因此由函数数项级数的连续性定理可得limf ( x) f(1) s.x1定理 2(级数乘法原理 )令 cna0bna1bn1. anb0又设级数an,bn ,cn都收敛那么n 0 cnn 0 ann 0 bn证明：因为绝对收敛的级数可以相乘，因此nnn 0 bn xnn 0 cn xn 0 an xs1( x)s2( x) 0 x1 于是由阿贝耳定理便可得到limn lim(x)s2( x) lim( x)lim(x)n 0cnx 1n 0cnxx1 s1x 1s1x 1s2 s1(1)s2(1)n0 ann 0 bn例题 1试证112111111111111.2 (1.)2(1)12312342332454专业资料整理WORD格式n1证明：应用阿贝耳关于级数乘法的定理， 取 an bn 1 n=1,2,3, ,na0 =b0 =0, 那么有cn a1bn 1a2bn 2 an 1b
