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1、导数的概念与计算 【选题明细表】知识点、方法题号来源:导数的概念及运算1、2、4、10导数的几何意义3、5、7、12导数的综合应用6、8、9、11一、选择题1.(2013湖北荆州模拟)在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+x,2+y),则为(C)(A)x+2(B)x-2(C)x+2(D)x-+2解析:y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2+1-2=(x)2+2(x),=x+2,选C.2.(2013宿州模拟)若f(x)=2xf(1)+x2,则f(0)等于(D)(A)2(B)0(C)-2(D)-4解析:f(x)=2f(1)+2x,f(1)=2f(1)+2,f(1)=-2,f(
2、x)=2x-4,f(0)=-4.故选D.3.(2013济南模拟)曲线f(x)=x2(x-2)+1在点(1,f(1)处的切线方程为(D)(A)x+2y-1=0(B)2x+y-1=0(C)x-y+1=0(D)x+y-1=0解析:f(1)=12(1-2)+1=0,切点坐标为(1,0).又f(x)=3x2-4x,f(1)=-1,切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.故选D.4.函数f(x)=sin2的导数是(D)(A)f(x)=2sin(B)f(x)=4sin(C)f(x)=sin(D)f(x)=2sin解析:由于f(x)=sin2=-cos,f(x)=4sin=2sin,故选D.5.(201
3、3合肥一模)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(D)(A)e2 (B)4e2(C)2e2 (D)e2解析:因为f(x)=,所以曲线在点(4,e2)处的切线的斜率为k=f(4)=e2,切线方程为y-e2=e2(x-4),即e2x-y-e2=0,切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(2,0)、B(0,-e2),则切线与坐标轴围成的OAB的面积为2e2=e2,故选D.6.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f(x)为f(x)的导函数,已知y=f(x)的图象如图所示,若两个正数a、b满足f(2a+b)1,则的取值范围是(C)(A)(B)(5,+)(C)(D)(-,3)解析
4、:观察图象,可知f(x)在(-,0上是减函数,在0,+)上是增函数, 由f(2a+b)1=f(4),可得画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),来源:而可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得选项C为所求.故选C.二、填空题7.(2013哈尔滨模拟)等比数列an中,a1=1,a2013=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a2013),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为.解析:f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a2013),f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a2013)+x(x-a1)(x-a2)(x-a2013)f(0)=a1a2
5、a3a2013=(a1a2013)1006=41006=22013.f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22013x.答案:y=22013x8.若为曲线y=x3+3x2+ax+2的切线的倾斜角,且所有组成的集合为,则实数a的值为.解析:设切线的斜率为k,则k=y=3x2+6x+a=3(x+1)2+a-3.又k=tan ,k1,+).来源:当x=-1时,k取最小值为a-3=1.a=4.答案:49.(2013湖南十二校联考)若函数y1=2sin x(x0,2)在点P处的切线平行于函数y2=2(+1)在点Q处的切线,则直线PQ的斜率为.解析:函数y1=2sin x的导数为y1=2cos x2,故
6、在点P处的切线的斜率kP2;函数y2=2的导数为y2=+2=2(当且仅当x=1时,等号成立),所以在点Q处的切线的斜率kQ2.又两切线平行,故切线的斜率只能为2,当kP=2时,点P的坐标为(0,0),当kQ=2时,点Q的坐标为,故直线PQ的斜率k=.答案:来源:三、解答题10.求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=(-2)2;(3)y=x-sincos;(4)设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a,b,c,d,使得f(x)=xcos x.解:(1)法一y=(2x2+3)(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)=4x(3x-1)+3(
7、2x2+3)=18x2-4x+9.法二y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,y=(6x3-2x2+9x-3)=18x2-4x+9.(2)y=(-2)2=x-4+4,y=x-(4)+4=1-4=1-2.(3)y=x-sincos=x-sin x,y=x-(sin x)=1-cos x.(4)由已知f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x=(ax+b)sin x+(ax+b)(sin x)+(cx+d)cos x+(cx+d)(cos x)=asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x
8、=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x.f(x)=xcos x,必须有即a=d=1,b=c=0.11.(2013海口质检)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.(1)解:方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由y=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=
9、(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为|-|2x0|=6.来源:故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.12.求曲线f(x)=x3-3x2+2x的过原点的切线方程.解:f(x)=3x2-6x+2,设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时k=f(0)=2,f(0)=0,所以所求曲线的切线方程为y=2x.(2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),则有y0=-3+2x0,k=f(x0)=3-6x0+2,又k=-3x0+2,由得x0=,k=-.所以所求曲线的切线方程为y=-x.
