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1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 云南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 洪建武 2. 张艳 3. 刘继萍 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李海燕 日期： 2010 年 9 月 10 日142010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要通常加油站的地下储油罐都是通过预先标定的罐容表进行实时计算，以便得到罐内油位高度与储油量的变化情况，然而，储
3、油罐在使用一定时间后，罐体会因地基变形等原因发生变位，因此需定期对罐容表进行重新标定。本文针对这一情况，建立了储油罐体积积分模型，综合运用立体几何、微积分、数据拟合、MATLAB编程、EXCEL表格等知识，研究解决了储油罐的变位识别与罐容表标定问题。针对问题一，我们用了数学中的积分原理和几何知识建立了图像处理模型。在对图像处理模型改进的基础上建立了体积积分模型、理想模型。对模型进行了合理的理论证明和推导，得出了理想状态下变位前后罐内油量和油位高度的函数关系式，储油罐变位前的函数关系为储油罐变位后的函数关系为：然后借助于MATLAB软件，对附件中所提供的数据进行处理，并分别绘制变位前后实测值、理
4、论值的图像，编程得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。通过比较图变位前后实测值、理论值的图像，可以得出变位后的关系图像相对于变位前的曲线变化缓慢，即变位后据预先标定的罐容表所测得的油位高度高于实际油位高度，等同于罐容表的刻度标记值偏大，应在保持分度值不变的情况下加大刻度间距或是在保持间距不变的情况下减小分度值。针对问题二，针对问题2我们同样运用了数学中的积分原理和几何知识建立了图像处理模型。在对图像处理模型改进的基础上建立了体积积分模型、理想状态模型。对模型进行了合理的理论证明和推导，得出了理想状态下变位后罐内油量和油位高度的函数关系式，然后借助于MATLAB软件，对附件中所提供的
5、数据进行处理。关键词：储油罐、罐容表、体积积分模型、理想模型、液面高度一 问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变
6、位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.1的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根
7、据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二 模型假设1 题中所给储油罐的尺寸均为内壁尺寸；2 外界因素如温度、湿度、外力等不会造成储油罐几何形状的改变；3 忽略储油罐内其它设备占用的体积；4 题中所给数据均为精确值；5 储油罐密封性良好；6 所给数据均在储油罐内液面稳定的状态下测定；7 忽略每次进油和出油时滞留在进油管和出油管内的油量；8 储油罐无变位（倾斜变位）进油后罐内油位高度终值即为无变位（倾斜变位）出油前罐内油位高度的初始值；三 符号及变量说明表1 符号说明符号说
8、明单位a两端平头的椭圆柱体截面椭圆的长半轴分米b两端平头的椭圆柱体截面椭圆的短半轴分米v小椭圆型储油罐储油罐内油的体积升L小椭圆型储油罐柱体的长度分米h储油罐内油位的实际高度分米So小椭圆油罐截面示意图阴影部分的面积分米探针与储油罐内壁接触点距水平面的垂直距离分米小椭圆储油罐向上倾斜一端椭圆面离水平面最近的一点与水平面的垂直距离分米小椭圆储油罐向下倾斜一端椭圆面离水平面最远的一点与水平面的垂直距离分米小椭圆储油罐向上倾斜一端椭圆面离水平面最远的一点与水平面的垂直距离分米纵向倾斜角度小椭圆油罐变位后第一部分的体积立方分米小椭圆油罐变位后第二部分的体积立方分米小椭圆油罐变位后第三部分的体积立方分米
9、H据油位探测装置所得的油位高度分米实际储油罐向上倾斜一端椭圆面离水平面最近的一点与水平面的垂直距离分米实际储油罐向下倾斜一端椭圆面离水平面最远的一点与水平面的垂直距离分米实际储油罐向上倾斜一端椭圆面离水平面最远的一点与水平面的垂直距离分米球体的半径分米球冠体最大横截面的半径分米r任意横截圆的半径分米四 问题分析问题一本问中需研究储油罐罐体变位后对罐容表的影响并得到罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。求解本问的步骤为：第一步：分别建立变位前后的积分模型导出储油量与油位高度的函数关系式；第二步：针对变位前、变位后两种情况，使用MATLAB绘制理论所得函数关系图像，同时，据附件1数据绘制储
10、油量与油位高度的关系图；第三步：针对变位前后的函数关系图象进行比较，由此得罐体变位后对罐容表的影响；第四步：由相应的模型可得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。问题二此问解决的主要是对参数的标定，首先解决的是求出相应罐内储油量与油位高度及变位参数之间的关系，然后使用使用曲线拟合求出相应的参数，根据得出的函数关系可求出并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。主要问题在于积分的求解，由符号积分不能得出。五 模型建立及求解问题一的模型建立与求解1 变位前的函数关系模型两端平头的椭圆柱体截面示意图如图1，正面示意图如图2。yxSo图1 小椭圆油罐截面示意图LV图2 小椭圆油罐
11、正面示意图建立坐标系如图1所示。储油罐内油品体积是油品液面高度的函数：V=f(h)由椭圆的标准方程得： 用极限法求体积，则 通过MATLAB软件绘制几何解析的方法所得的储油罐内油量与油位高度系的图形以及附件1所给实际测量值的储油罐内油量与油位高度关系的图形。图3 变位前罐内油量与油位高度的关系图2 变位后的函数关系模型建立空间直角坐标系，绘出小椭圆型储油罐三维立体图：2b=1.2m2a=1.78m油位探针h1Lozxh3h2yh0图4 变位后罐体示意图yxSo图5 椭圆阴影部分示意图如图4所示，将罐体高度分为三段来求出油量与相应油位高度的函数关系，由积分及相应几何知识可得 由图5所示阴影部分面
12、积为 则可得函数如下：对以上使用MATLAB编程可以很方便的得出相应图如下：图6 变位后罐内油量与油位高度的关系示意图3 分析得出罐体变位后对罐容表的影响由于储油罐的纵向倾斜，使得储油罐与水平面之间形成一定的倾斜角，导致据预先标定的罐容表所得的油位值与实际油位高度有一定偏差，但该偏差在允许的范围内，则据几何知识可得实际油位高度与通过变位前预先标定的罐容表所得油位高度的关系。 观察图5、图6可知，理论值与实测值存在一定偏差，但均在误差允许的范围内；通过比较图5、图6两条曲线，图6所示曲线相对于图5曲线变化缓慢，即变位后据预先标定的罐容表所测得的油位高度高于实际油位高度，等同于罐容表的刻度标记值偏
13、大，应在保持分度值不变的情况下加大刻度间距或是在保持间距不变的情况下减小分度值。4 罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值综合运用MATLAB、EXCEL软件编程得出罐体变位后与刻度相对应的油量值，继而得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。表2 罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值刻度/dm油量/L01.67440.13.5310.26.26350.39.97480.414.7560.520.6910.627.8540.736.3160.846.1420.957.39410.93747.2113776.611.13805.311.2383311.33859.811.43885.611.53910.311.63933.911.73956.111.83976.711.9399
