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1、2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算课后演练提升北师大版选修2-12016-2017学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算课后演练提升 北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA面ABCD，则异面直线AC与BF所成角等于()A45B30C90 D60解析：作出图形，建立如右图所示的空间直角坐标系Oxyz，则：A(0,0,0)，C(1,1,0)，F(0,0,1)，B(0,1,0)，A(1,1,0)，B(0，1,1)，|A|，|B|，AB1，cosA，B，A，B120.又异面直线所成角
2、的取值范围为(0,90AC与BF所成角为60.故选D.答案：D2若平面的法向量为u，直线l的方向向量为v，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是()Acos Bcos Csin Dsin 解析：u与v的夹角的余角才是直线l与平面所成的角，因此选D.答案：D3已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为()A. B.C. D.解析：以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，B(4,4,0)，C1(0,4,2)，(4,4,0)，(4,0,2)，易知为平面DBB1D1的一个法向量，设BC1与平面DBB1
3、D1的夹角为，则sin |cos，|，选C.答案：C4平面的一个法向量为n1(4,3,0)，平面的一个法向量为n2(0，3,4)，则平面与平面夹角的余弦值为()A B.C. D以上都不对解析：cosn1，n2，平面与平面夹角的余弦值为.故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是_解析：以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则E，F，E，D(0,1,0)，所以cosE，D，所以E，D135，所以异
4、面直线EF和CD所成的角是45.答案：456已知平面过定点A(1,2,1)，且法向量为n(1，1,1)已知平面外一点P(1，5，1)，求PA与平面所成角的正弦值_解析：P(2,7,2)，则cosP，n.设PA与平面所成角为，则sin |cosP，n|.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC的夹角解析：方法一：因为B，AAB，所以A(B)(AB)BABBAB.因为ABBC，BB1AB，BB1BC，所以BB0，A0，B0，BAa2，所以Aa2.又cos，A，所以，A120，所以异面直线BA1和AC的夹角为60.方法二：
5、分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)(0，a，a)，A(a，a,0)cos，A.，A120.异面直线BA1和AC的夹角为60.8在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，AD，求平面SCD与平面SBA夹角的正切值解析：建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)、D、C(1,1,0)、S(0,0,1)，易知平面SAB的一个法向量是.设n(x，y，z)是平面SCD的法向量，则n，n，即n0，n0，又，xy0，且xz0.yx，且zx.n.
6、取x1，得n.cos，n.设两平面夹角为，即cos ，tan .9.(10分)如图，在三棱锥VABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且ACBCa，VDC.(1)求证：平面VAB平面VCD；(2)试确定角的值，使得直线BC与平面VAB的夹角为.解析：(1)证明：以C为原点以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，D，V，于是，(a，a,0)从而(a，a,0)a2a200，即ABCD.同理(a，a,0)a2a200，即ABVD.又CDVDD，AB平面VCD.又AB平面VAB.平面VAB平面VCD. (2)设平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，则由n0，n0，得，可取n，又(0，a,0)，于是sin sin ，即sin .0，.故当时，直线BC与平面VAB的夹角为.5
