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1、WORD一、知识梳理1角和定理：在中，；面积公式:在三角形边对大角，反之亦然.2正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： (边角转化的重要工具)形式三： 形式四：3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：(解三角形的重要工具)形式二：二、方法归纳 (1)已知两角A、B与一边,由A+B+C=与，可求出角C，再求、. (2)已知两边、与其夹角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三边、，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边、与其中一边
2、的对角A，由正弦定理，求出另一边的对角B，由C=-(A+B)，求出，再由求出C，而通过求B时，可能出一解，两解或无解的情况=sinA有一解 sinA有两解 有一解 有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形例1在中，若，,，则.例2在ABC中，已知=,=,B=45,求A、C和.解析B=4590且sinBb,ABC有两解.由正弦定理得sinA= =,则A为60或120.当A=60时，C=180-(A+B)=75,c=.当A=120时，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,C=75,c=或A=120,C=15,=.思考从所得到式子看，为什么会有两解：sinA =,在上
3、显然有两个解。在上的值域为（0,1，在只有一解。适时导练1.（1）ABC中，=8,B=60,C=75,求;（2）ABC中，B=30,=4,c=8,求C、A、a.解析（1）由正弦定理得.B=60,C=75,A=45,b=4.（2）由正弦定理得sinC=1.又30C150,C=90.A=180-(B+C)=60,=4.问题二：利用余弦定理解三角形例3设的角所对的边分别为.已知，.（）求的周长；（）求的值.解题思路本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力解析（）的周长为.（），,故为锐角，. 注常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式：例4（2010文数）
4、 设的角A、B、C的对边长分别为、,且3+3-3=4 .() 求sinA的值；()求的值.适时导练2 在ABC中，、分别是角A，B，C的对边，且=-.（1）求角B的大小；（2）若=，+=4，求ABC的面积.解析 （1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.将上式代入=-得:=-整理得:2+2-2=-cosB= =-B为三角形的角，B=.（2）将=,+=4,B=代入2=2+2-2cosB,得2=(+)2-2-2cosB2=16-2,=3.SABC=sinB=.问题三：正弦定理余弦定理综合应用例5（2011文数）在ABC中，角A，B，C的对边分别为，c已知 （I）求的值； （II）若cosB=，A
5、BC的周长为5，求的长。解题思路通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行化简。解析（I）由正弦定理，设则所以即，化简可得又，所以因此 （II）由得由余弦定得与得所以又从而因此b=2。思考到底“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”例6（2009全国卷理）在中，角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b解题思路对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件(2) 化角化边都可以。解析解法一：在中则由正弦定理与余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故由，解得.思考面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考
6、虑余弦定理，两种方法只是计算量上的差别。适时导练3在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且8sin22cos2A7（1）求角A的大小；（2）若a，bc3，求b和c的值解:（1）ABC180，90 sin由8sin22cos2A7，得8cos22cos2A7 4(1cosA)2(2cos2A1)7，即(2cosA1)20 cosA 0A180，A60（2）a，A60，由余弦定理知a2b2c22bccosA， 3b2c2bc(bc)23bc93bcbc2又bc3，b1，c2或b2，c1问题四：三角恒等变形例7（08） 设的角A，B，C的对边分别为,b,c，且A=，c=3b.求：（）的值；
7、（）cotB+cot C的值.解题思路求的值需要消去角和三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系解析（）由余弦定理得故（）解法一：由正弦定理和（）的结论得故解法二：由余弦定理与（）的结论有故同理可得从而思考在解三角形的背景下一般见“切割化弦”， 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： （2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商数关系：适时导练4.（2009卷理）中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求.解析(1) 因为，即，所以，即 ，得 . 所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因为，则，或（舍去） 得(2)， 又, 即 ，得问题五：判断三角
8、形形状例8在ABC中，在中，分别是角A、B、C所对的边，bcosAcosB，试判断三角形的形状.解题思路判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理解析方法1：利用余弦定理将角化为边.bcosAcosB 故此三角形是等腰三角形.方法2：利用正弦定理将边转化为角.bcosAcosB 又b2RsinB，2RsinA2RsinBcosA2RsinAcosB sinAcosBcosAsinB0sin（AB）0 0A，B，ABAB0，即AB故三角形是等腰三角形.思考判断三角形形状时一般
9、从角入手，利用三角形角和定理，实施关于三角形角的一些变形公式.例9. 在ABC中，在中，分别是角A、B、C所对的边，若，试判断三角形的形状.解析：方法1：利用余弦定理将角化为边由已知与正弦定理得sin2A=sin2B2A2B或2A2B，即AB或AB，故ABC为等腰三角形或直角三角形.方法2：利用正弦定理将边转化为角.acosAbcosB a=b或者故ABC为等腰三角形或直角三角形.适时导练5.在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形解析2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsi
10、nC，sin（AB）0，AB 6.在ABC中，、c分别表示三个角A、B、C的对边，如果（2+b2）sin（A-B）=（2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.解析方法一 已知等式可化为2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)22cosAsinB=22cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsin
11、B=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得2b= b22(b2+c2-2)=b2(2+c2-b2)即(2-2)(2+2-c2)=0=或2+2=c2ABC为等腰或直角三角形.问题六：与其他知识综合例10已知向量，其中A，B，C是ABC的角，,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；（2）求的取值围.解题思路向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。解析（1）由得 由余弦定理得 （2）即. 思考坐标运算：设，则： 向量的加减法运算：，。 实数与向量的积：。 平面向量数量积：=适时导练7（2009文）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解析（）又，而，所以，
12、所以的面积为：（）由（）知，而，所以所以问题7：三角实际应用例11 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，求A、B之间的距离.解题思路找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。解析如图所示在ACD中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.BC=.ABC中，由余弦定理，得AB2=+-2cos75=3+2+-=5，AB=(km).A、B之间的距离为 km. 课后自我检测A 组1.已知ABC中，则 ( )答案2.在中。若，则a= 。答案 13.已知,
13、分别是ABC的三个角A,B,C所对的边，若=1,=, A+C=2B,则sinC= .答案 1解析由A+C=2B与A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知，即由知，则，3.在中，=15,=10,A=60，则=A B C D 答案D解析根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确.4某人朝正向走千米后，向右转并走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么的值为 （ ）ABC或D3答案C5.（2008)在ABC中，角A、B、C的对边分别为、,若(2+2-b2)tanB=,则角B的值为 （ ）A. B. C.或 D.或答案 D6已知的周长为，且（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数解析（I）由题意与正弦定理，得，两式相减，得（II）由的面积，得，由余弦定理，得cosC=，所以7在中，角、所对应的边分别为、，且满足（I）求角的值；
