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1、基础题题库三立体几何201. 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=AC=2，求球的体积。解析：过A、B、C三点截面的小圆的半径就是正ABC的外接圆的半径，它是中所对的边，其斜边为，即球的半径为，；202. 正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积。解析：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为 ，连结与并延长，必交于CD的中点E，又，连接，在Rt中，连结与交于，由Rt，同理可证到另二面的距离也等，为四面体外接球与内接球的球心，由，203. 在RtABC中，ABBC，E、F分别是AC和AB的中点，以EF为棱把它折成大小为的二面角AEFB后，设AEC，
2、求证：2cos-cos-1.解析：AFB.可证：BCAB，然后利用AC2BC2+AB2即可证得.204. 如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将ABD和ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD平面ABE.解析：过D作DFAB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，DFE； 205. 已知正三棱柱ABC的底面边长为，侧棱长为，D为AC中点，（）求证：AB1平面C1DB；（）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.(1) 解析：连交BC于E，连结ED，则ABDE，由线面平行定理得AB平面BDC；（）AB，DE与BC所成
3、锐角就是异面直线AB与BC所成的角，又BDDC，在RtBDC中，易知BEBC，DE，BD，在BDE中，BED，异面直线AB与BC所成角的余弦值为206. 已知（如图）：三棱锥PABC中，异面直线PA与BC所成的角为，二面角PBCA为，PBC和ABC的面积分别为16和10，BC.求：（）PA的长；（）三棱柱PABC的体积解析：(1)作ADBC于D，连PD，由已知PABC，BC面PAD，BCPD，PDA为二面角的平面角，PDF，可算出PD，AD，PA;(2)207. 如图233：线段PQ分别交两个平行平面、于A、B两点，线段PD分别交、于C、D两点，线段QF分别交、于F、E两点，若PA9，AB12
4、，BQ12，ACF的面积为72，求BDE的面积。解析： 求BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF的面积，若BDE与ACF的对应边有联系的话，可以利用ACF的面积求出BDE的面积。（提示：ABC的两条邻边分别长为a、b，夹角为，则ABC的面积Sabsin,sin=sin(180-)PCAFDBEQ图233解答:平面QAFAF，平面QAFBE，又，AFBE同理可证：AC/BD，FAC与EBD相等或互补，即sinFAC= sinEBD.由 AFBE，得，BEAF由BD/AC，得：，BDAC又ACF的面积为72，即AFACsinFAC72， BEBDsinEBD AFACsinFA
5、C AFACsinFAC7284BDE的面积为84平方单位。208. a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合平面，现给出六个命题，其中正确的命题是（） A. B. C. D.解析： 首先要判断每个命题的真假，错误的命题只需给出一个反例。解答: 三线平行公理，两直线同时平行于一平面，这二直线可相交，平行或异面二平面同时平行于一直线这两个平面相交或平行面面平行传递性，一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面可平行或直线在平面内，一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内，故正确应选C。209. 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1与A1D所成的角为，A
6、C与BC1所成的角为，A1C1与CD1所成的角为。求证：ADCBA1D1C1B1图2解析：作如图的辅助线则AB1C为AB1与A1D所成的角AB1CABA1B1C1D1BC1/AD1，故D1AC为AC与BC1所成的角D1ACAA1DD1CC1，A1C1/ACD1CA即为A1C1与CD1所成的角D1CA在ACD1和ACB1中，AB1CD1，B1CD1A，ACCAACD1CAB1，故AB1CAD1C，故AD1C在AD1C中，AD1CD1CAD1AC即：210. ecabdf如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行。（已知，求证：。）解析：如图2，作两个相交平面分别与、交于a、c、e和
7、b、d、f211. 下列说法中正确的是（）：A. 直线l平行于平面内的无数条直线，则l/ B. 若直线a在平面外，则a/ C. 若直线a/b，直线b，则a/D. 若直线a/b，b，那么a就平行于平面内的无数条直线解析：画出图形，根据直线与平面平行的定义和判定定理进行分析。解答: 由直线l 虽与平面内无数条直线平行，但l有可能在平面内，知l不一定平行于，从而排除A直线a在平面外，包括两种情况：a/或a与相交，故a与不一定平行，从而排除B直线a/b ，b只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，故a不一定平行于，从而排除Ca/b，b，那么a或a/，故a可能与平面内的无数条直线平行，从而选择DDAF
8、GNMBCE图220点评: 判定直线与平面平行时，要注意直线与平面平行的判定定理中的三个条件，缺一不可。 。212.如图220，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AMFN，求证：MN/平面BCE。解析： 要证MN/平面BCE，就是要在平面BCE上找一条直线，证明它与MN平行即可。证明: 连结AN并延长，交BE延长张于G，连结CG。由AF/BG，知，故MN/CG，MN平面BCE，CG平面BCE，于是MN/平面BCE。CBADA1D1C1B1E图2FCBADA1D1C1B1E点评:证线面平行，通常转化为证线线平行，关键是在平面内找到所需的线。213. 如图22
9、1，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E为DD1的中点，（1）判断BD1和过A、C、E三点的平面的位置关系，并证明你的结论。（2）求ACE的面积。证明（1）：连结BD，令BDACF。BD1和过A、C、E三点的平面平行，则F是DB的中点，又E是DD1的中点， EFBD1又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE（2）在正方形ABCD中，AB2，AC2，AF在直角ADE中，AD2，DE1，AE在RtEAF中，EF214. 直线a/直线b，直线a与平面相交，判定直线b与平面的位置关系，并证明你的结论 证明：假设直线b与不相交，则b或b/(1)若b，由a/b，b，aa/，与a与平面相
10、交矛盾，故b不可能。(2)若b/，又a/ b，a，b可以确定平面，设c，由c,知b与c没有公共点，又b、c同在平面内，故b/c，又a/b，故a/c，c，aa/，这与a与平面相交矛盾。故b不平行。综上所述，b与必相交。215. CBADFEA1D1C1图222B1如图222：在长方体AC1中，（1）求证：BC1/平行平面AB1D1（2）若E、F分别是D1C，BD的中点，则EF/ADD1A1解析：（1）D1C1DCABABC1D1是平行四边形BC1/AD1又BC1平面AB1D1，又AD1平面AB1D1BC1/平面AB1D1（2）证明：连结AF、CF、AD1，ABCD是正方形，且F是BD的中点，知A
11、、F、C三点共线，且F是AC的中点，又E是CD1的中点EF/AD，又EF平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，EF/平面ADD1A1216.在正方体木块ABCDA1B1C1D1的表面上有一动点P由顶点A出发按下列规则向点C1移动；点P只能沿着正方体木块的棱或表面对角线移动；点P每一变化位置，都使P点到C1点的距离缩短。动点P共有_种不同的运行路线。解析：通过画图逐一计数，共得12种不同路线（从B到C1，就有3种不同路线）经过一条边，一条对角线的情况有6种，经过三条边的情况有6种：，217. 判定下列命题的真假（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面
12、；（2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；（3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图255，正方体AC1中，平面AC平面AD1，平面AC平面AD1AD，ABCDA1D1C1B1图255在AD上取点A，连结AB1，则AB1AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内，可以看出：线在面内这一条件的重要性；（2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图256，在正方体AC1中，平面AD1平面A
13、C，AD1平面ADD1A1，AB平面ABCD，且ABAD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；（3）如图256：正方体AC1中，平面ADD1A1平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1与AC所成的角为60，即AD1与AC不垂直ABCDA1D1C1B1图256解：由上面的分析知，命题、都是假命题。 点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：两个平面垂直；直线必须在其中一个面内；直线必须垂直它们的交线。218.已知平面平面，平面平面，且a，求证：a。解析： 此题需要作出辅助线，可有多种证明方法。证法1:如图257：在内取一点P，作PA于A，PB于B，则PAa，PBa，又PA，PB，PAPBP， a。证法2：如图25
