排列组合专题各方法题型及其答案

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1、排列组合题型总结直接法例1用1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1 不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6 不在千位。间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。例2 有五张卡片，它的正反面分别写0 与1，2 与3，4 与5，6 与7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数三插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中 插入方法四捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4

2、4 名男生和3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种五六 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法六例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分 配方案共多少种七八平均分堆问题 例 66 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法九 染色问题（例7 某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分，现要栽种4 种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）.十递推法例八 一楼梯共10 级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10 级楼梯，共有多少种不同的走法九.几何问题1.四面

3、体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种十 先选后排法例 9 有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需1 人承担，从10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选派方法有多少种十一用转换法解排列组合问题例 10某人连续射击 8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结 果有多少种十二转化命题法例 11.圆周上共有 15 个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列 组合应用题时，除做到：排列组

4、合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得 以快速准确求解。十一 直接法1 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1 不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6 不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择A2,其余2位有四个可供选择A2,由乘法原理：A2 A2 =2405 4 5 42特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有A3 =60, 1不在千位时，千位有A1种选法，个位有A1种，余下的有A2，5 4 4 4共有A1 A1 A2 =192所以总共有192+60=252444十二 间

5、接法 当直接法求解类别比较大时， 应采用间接法。如上例中（ 2） 可用间接法A4 一 2A3 + A2 =252654例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1， 2与3， 4与5， 6与7， 8与9，将它们任意三张并排 放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数C3 x 23 x A3个，其中0在百位的有53C2 x 22 x A2个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数C3 x 23 x A3 - C2 x 22 x A2 =432425342（个）

6、十三 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中 插入方法分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有A1 x A1 =100中9 10插入方法。十四 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4例 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种例5分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有A4种排法，而男生之间又有A4种排法，44又乘法原理满足条件的排法有：A4 X A4 =57644练习1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子

7、中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（C2A3）432 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（Ci - A19 ）（注2928意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C1其余的就是19所学校 29选 28 天进行排列）十五 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例 5 某校准备组建一个由12 人组成篮球队，这12 个人由 8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案种。 分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至

8、少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C7种11练习1.（a+b+c+d）15有多少项当项中只有一个字母时，有C i种（即而指数只有15故C i - Co。4414当项中有2个字母时，有C2而指数和为15,即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，4C1 即 C 2 C114414当项中有3个字母时C:指数15分给3个字母分三组即可C:C14当项种4个字母都在时C3四者都相加即可.练习2有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法（C 2）163.不定方程X_,+X2+

9、X3+.+X50=1OO中不同的整数解有（C49 ）1235099六 平均分堆问题 例 66 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法分析：分出三堆书（a1?a2）,（a3,a4）, （a5,a6）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆C 2 C 2C 2方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有6 42 =15种A33练习： 16本书分三份， 2份1本， 1份4本，则有不同分法2某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。十七 合并单元格解决染色问题例7 （全国卷（文、理）如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得 使用

10、同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5面分情况讨论:（i）当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个 元素的全排列数A42,44（ii）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形（i）类似同理可得A4种着色法.4（iii）当2、4与3、5分别同色时，将2、4； 3、5分别合并，这样仅有三个单元格3,5从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有C3 - A3种方法.43由加法原理知：不同着色方法共有2 A4 + C3 A3 =48+24=72 （种）443练习1（天津卷（文）将

11、3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，不同的种植方法共种（以数字作答）（72）2（江苏、辽宁、天津卷（理）某城市中心广场建造一个花圃，花圃6 分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）.（120）图3图43.如图4,用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可 以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540）4如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色

12、不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）图 5 图65将一四棱锥（图 6）的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用， 则不同的染色方法共种（420）十八 递推法例八 一楼梯共 10 级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10 级楼梯，共有多少种不同的走法分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当 n2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类： 是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2, 据此，a3=a1+a2=3,a4=

13、a#+82=5刁5=84+83=8刁6=13刁7=21刁8=34內=55刁10=89故走上10级楼梯共有89种不同的方 法。九.几何问题1.四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种（3C3+3=33）52.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面（C3 -4 C3 +4-3 C 3 +3-6C 3 +6+2 X 6=29）10 6 4 4（2）以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥 三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 6X4X4=96 3X6=18 共有 114十一.

14、先选后排法例 9 有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选派方法有（ ）种种种种分析：先从10人中选出2人十一.用转换法解排列组合问题例10.某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题.A2 =20种5例11 个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题.C5 =126 种9例12 从1, 2

15、, 3,，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法.解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。C10991例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5 条，东西向大街4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最 短的走法有多少种.解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为 3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题.C3 =35 （种）7例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走 法.解 根据题意要想12 步登完只能6 个一步登一个台阶， 6 个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白