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1、课时跟踪检测 (六十一)不等式的证明1如果x0，比较(1)2与(1)2的大小解：(1)2(1)2(1)(1)(1)(1)4因为x0，所以0，所以40，所以(1)2(1)22设不等式|2x1|1的解集为M(1)求集合M(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小解：(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0故ab1ab3(2017重庆第一次适应性测试)设a，b，cR且abc1(1)求证：2abbcca；(2)求证：2证明：(1)因为1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2
2、，所以2abbcca(4ab2bc2cac2)(2)因为，所以abc2a2b2c24若a0，b0，且(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，且当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4(2)由(1)知，2a3b24由于46，从而不存在a，b，使得2a3b65已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3(2)
3、证明：由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r236(2016海口调研)设函数f(x)|xa|(1)当a2时，解不等式f(x)7|x1|；(2)若f(x)1的解集为0,2，a(m0，n0)，求证：m4n23解：(1)当a2时，不等式为|x2|x1|7，或或解得x2或x5，不等式的解集为(，25，)(2)证明：f(x)1即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0,2，解得a1，1(m0，n0)，m4n(m4n)323(当且仅当m2n时取等号)7已知函数f(x)|x1|(1)解不等式f(2x)f(x4
4、)8；(2)若|a|1，|b|1，a0，求证：f解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|当x3时，由3x28，解得x；当3x时，x48无解；当x时，由3x28，解得x2所以不等式f(2x)f(x4)8的解集为(2)证明：f等价于f(ab)|a|f，即|ab1|ab|因为|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0，所以|ab1|ab|故所证不等式成立8设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2解：(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x1所以f(x)1的解集为M(2)证明：由g(x)16x28x14，得1624，解得x因此N，故MN当xMN时，f(x)1x，于是x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x)2
