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1、本科毕业论文题目： 函数的泰勒级数的收敛域及分析性质学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学2007级6班 姓名： 指导教师： 职 称： 副教授 完成日期： 2011 年 5 月 18 日 函数的泰勒级数的收敛域及分析性质摘要： 本文主要讨论了二项式级数（）的收敛区间端点的敛散性，和它推广后所得的形如（为正有理数且）的泰勒级数的收敛域及其函数（为正有理数且）的泰勒级数逐项微分、逐项积分后所得级数的收敛域.由于推广后的函数（为正有理数且）的泰勒级数的收敛半径相同，所以本文重点旨在对收敛区间端点的讨论，进而得到有规律的收敛域.这样我们在以后遇到此类形式的函数的泰勒级数时，便能根据具体的
2、，很快写出其收敛域，而不需要再对其收敛区间端点的敛散性进行分析.关键词：泰勒级数；逐项微分；逐项积分；收敛区间；收敛域.目 录1预备理论11.1幂级数理论11.2函数的幂级数展开理论21.3超越几何级数的收敛域32函数（为正有理数且）的泰勒级数收敛域32.1函数的泰勒级数及其收敛域32.2函数（为正整数且）的泰勒级数及其收敛域52.3函数（为正有理数且）的泰勒级数及其收敛域63 函数（为正有理数且）的泰勒级数的分析性质83.1函数（为正有理数且）的泰勒级数的可微性质83.1.1函数的泰勒级数的可微性质83.1.2函数（为正整数且）的泰勒级数的可微性质83.1.3函数（为正有理数且）的泰勒级数的
3、可微性质93.2 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可积性质93.2.1函数的泰勒级数的可积性质93.2.2函数（为正整数且）的泰勒级数的可积性质103.2.3函数（为正有理数且）的泰勒级数的可积性质11参考文献13谢 辞151 预备理论1.1 幂级数理论定义 形如 的函数级数称为幂级数，其中为常数，称为幂级数的系数.这是一类最简单的函数项级数。本文将着重讨论，即幂级数 的情形.以及幂级数在收敛域内逐项求导后得到的幂级数与幂级数在收敛域内逐项积分后得到的幂级数定理 (阿贝尔定理)1)若幂级数在收敛,则幂级数在都绝对收敛.2) 若幂级数在发散,则幂级数在都发散.由此定理知道：幂级数的收敛域时以原点
4、为中心的区间.若以表示区间的长度，则称为幂级数的收敛半径，其实它就是使得幂级数收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.注：当时，幂级数可能收敛也可能发散.我们称为幂级数的收敛区间.定理 对于幂级数，即，若 ，则幂级数的收敛半径定理 幂级数与幂级数，具有相同的收敛区间.注： 虽然幂级数、的收敛半径相等，但是它的收敛域不一定相同.定理 设幂级数在收敛区间上的和函数为,若为内任意一点，则 （i）在可导，且； （ii）在与这个区间上可积，且.此定理说明幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积.1.2 函数的幂级数展开理论 若函数在处存在任意阶的导数，这时称形式为 的级数为函数在的泰勒级数.对于级数能否在附近确
5、切地表达，或说在的泰勒级数在附近的和函数是否就是，有如下定理5定理 设在点具有任意阶导数，那么在区间内等于它的泰勒级数的和函数的充要条件是：对一切满足不等式的，有这里是在的泰勒公式余项.如果能在的某领域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数在的这一领域内可以展开成泰勒级数，并称等式的右边为在处得泰勒展开式，或称幂级数展开式. 定理（幂级数展开式的惟一性）若函数在的某邻域内可展为幂级数则其系数 这里规定在实际应用在中，主要讨论函数在处的展开式，这时式可写成称之为麦克劳林级数.1.3 超越几何级数的收敛域对于超越几何级数的敛散性情况如下表1：绝对收敛发散绝对收敛发散绝对收敛条件收敛发散2 函数（为正有
6、理数且）的泰勒级数收敛域 2.1 函数的泰勒级数及其收敛域 当为正整数时，由二项式定理直接展开，就得到的展开式.（所以在下面的探讨中都是假定）因为从而有于是，的麦克劳林级数是 令则运用比式判别法，可得级数的收敛半径. 现在内考察它的柯西余项运用比式判别法，级数当时收敛，故有又由于有，且，从而有.再当时，有.于是当时，是与无关的有界量；当时，也有同样结论.综上所述，当时， 所以，在上 我们称上式为二项式级数，当a 为正整数时，上式即为二项式定理.对于收敛区间端点的情形，它与的取值有关，借鉴超越几何级数的收敛域的结论，容易知道，二项式级数是超越几何级数的特殊情形，并且可从后者当时，以代替而得出，由
7、于这点，再结合表1，容易做出二项式级数在它的收敛区间的端点上的敛散性情况的表2：绝对收敛条件收敛发散绝对收敛发散二项式级数在处敛散性的证明见文献.所以，二项式级数 的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为； 当时，收敛域为.2.2 函数（为正整数且）的泰勒级数及其收敛域由上面对的泰勒级数讨论，我们容易得到 令由比式判别法，可得的收敛半径，此处我们重点放在对收敛区间端点的讨论上. 当时， 当时， 当时， 或.把看做一个整体作为因变量，由表2知道，在当时都发散，所以，这时级数的收敛域为. 当时，同样按照上面的方法得到 当即时， 级数收敛; 当时， 当为偶数时，. 级数收敛; 当为奇数时，.
8、级数发散;所以，这时级数的收敛域为： 当为奇数时，收敛域为； 当为偶数时，收敛域为. 当时， 当时，. 级数收敛; 当时， 或. 级数收敛;所以，这时级数的收敛域为：.综上所述，级数 的收敛域为： 当时，收敛域为； 为奇数当时，收敛域为 为偶数 当时，收敛域为.2.3 函数（为正有理数且）的泰勒级数及其收敛域设， ，.由上面对的泰勒级数讨论，我们容易得到 当为偶数时，只能为奇数.（此时收敛域只能是由非负数组成的）.由比式判别法， 得到， 级数的收敛区间为.下面将重点探讨时的敛散性.当时，.由表2得 当时，级数发散； 当时，级数收敛；所以，这时级数的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为.
9、 当为奇数时，由比式判别法， 得到， 级数的收敛区间为.下面将重点探讨处的敛散性. 当为奇数时，当时，当时，.结合表2，易得到表3： 绝对收敛条件收敛发散绝对收敛发散所以，级数的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为偶数时，当时，结合表2，易得到表4： 绝对收敛条件收敛发散所以，级数的收敛域为： 当时，收敛域为； 当时，收敛域为；综上所述，级数 的收敛域为：当为偶数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为奇数时， 当为奇数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为偶数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域为；3 函数（为正有理数且）的泰
10、勒级数的分析性质 3.1 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可微性质 3.1.1 函数的泰勒级数的可微性质由级数知 利用级数的收敛域的结论得到级数的收敛域为： 当即时，收敛域为； 当即时，收敛域为； 当即时，收敛域为.3.1.2 函数（为正整数且）的泰勒级数的可微性质由级数知 又由级数的收敛域的结论得到级数的收敛域为： 当即时，收敛域为； 为奇数当即时，收敛域为 为偶数 当即时，收敛域为.3.1.3 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可微性质设， ， 由级数的收敛域的结论得到级数的收敛域为：当为偶数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域为. 当为奇数时， 当为奇数时， 当时，收敛域为； 当时，收敛域为； 当
