一注基础高等数学知识总结

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1、高等数学知识总结一、 空间解析几何31 向量代数32 曲面及其方程43 空间曲线及其方程54 平面及其方程55 空间直线及其方程5二、 极限和连续71 数列极限72 函数极限73 几个重要极限74 无穷小量75 连续函数7三、 一元函数的微分学81 导数的定义82 导数运算83 常数和基本初等函数的导数：84 微分概念及其运算法则85 Lagrange中值定理86 函数的单调性与曲线的凹凸性97 函数的极值与最大值最小值98 Cauchy中值定理99 法则：型未定式或型未定式 (不是未定式不能用洛必达法则 )910 泰勒 ( Taylor )公式用多项式近似表示函数9四、 多元微分学101 极

2、限与连续性102 微分和偏导数103 复合函数的微分法114 方向导数和梯度115 空间曲线的切线与法平面126 曲面的切平面与法线方程127 Taylor公式138 多变量函数的极值13五、 一元函数的不定积分141 不定积分142 基本积分表（求导的逆运算）143 不定积分的性质144 换元法145 分部积分法14六、 定积分151 定积分定义 （分割，近似，求和，取极限 ）152 牛顿莱布尼兹公式153 定积分的性质（设所列定积分都存在）154 广义积分15七、 多变量函数的重积分161 二重积分“分割，近似，求和，取极限”162 二重积分的累次积分163 二重积分换元法164 三重积分

3、17八、 曲线积分与曲面积分181 第一类曲线积分对弧长的曲线积分182 第一类曲面积分183 第二类曲线积分194 格林公式195 第二类曲面积分206 Gauss定理及散度217 Stokes定理即旋度Green定理的推广218 保守场22九、 无穷级数231 无穷级数基本性质232 正项级数及其审敛法233 级数收敛的一般判别法244 绝对收敛与条件收敛245 幂级数及其收敛性246 傅里叶级数25十、 常微分方程261 一阶微分方程262 二阶线性齐次方程解的结构263 二阶线性非齐次方程解的结构274 用常数变易法求非齐次的特解常用来由齐次推非齐次、由线性推非线性275 二阶常系数线

4、性齐次方程27一、 空间解析几何1 向量代数l 向量的线性运算向量加法：三角形法则或平行四边形法则：1)交换律a+b=b+a; 2)结合律(a+b)+c=a+(b+c). 实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：1)结合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； 2)分配律 (l+m)a=la+ma； l(a+b)=la+lb. l 空间直角坐标系 设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)，则有1）a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz). 2）a-b=(ax-bx, ay-by, az-bz). 3）la=(lax, lay, laz). 4）b/a b=la

5、(bx, by, bz)=l(ax, ay, az) . 5）向量模： 6）两点间的距离：7）方向角：非零向量r与三条坐标轴的夹角a、b、g称为向量r的方向角 方向余弦： , , . l 向量的数量积：ab=|a| |b| cosq几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积。1）aa = |a| 2. 2）ab ab =03）交换律: ab = ba; 4）分配律: (a+b)c=ac+bc . 5） (la)b = a(lb) = l(ab), (la)(mb) = lm(ab), l、m为数. 6）ab=axbx+ayby+azbz . l 向量的向量积：c = abc的

6、模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 为a与b间的夹角; c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定.几何意义：以a与b为两邻边的有向面积。1）aa = 0 ; 2）a/b ab = 03）交换律ab = -ba; 4）分配律: (a+b)c = ac + bc. 5）(la)b = a(lb) = l(ab) 6）l 混合积，共面2 曲面及其方程旋转面方程母线柱面方程，母线平行于轴的柱面方程，母线平行于轴的柱面方程椭球面方程，当或或时为旋转椭球面，当时，为球面方程。双曲面方程 锥面方程抛物面方程其中3 空间曲线及其方程空间曲线的一般方程： （两个曲面方程的

7、交线）空间曲线的参数方程： 空间曲线 关于坐标面的投影柱面方程为消去得到的方程，在坐标面上的投影曲线方程为 4 平面及其方程l 平面方程一般方程： Ax+By+Cz+D=0 【平面的一个法线向量n为 n=(A, B, C)】点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 【通过点M0(x0, y0, z0)】截距式方程： 【a、b、c依次为平面在x、y、z轴上的截距】l 两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角平面P1和P2垂直A1 A2 +B1B2 +C1C2=0; 平面P 1和P 2平行或重合. l 点P0(x0, y0, z0)到平面的距离 5 空间

8、直线及其方程l 直线方程 一般方程： （两平面的交线）点向式方程.： 【过点M0(x0, y0, x0)】参数方程： 【且方向向量为s = (m, n, p)】两点式： 【过点M1(x1, y1, x1)】l 两直线的夹角：两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)1）L 1L 2m1m2+n1n2+p1p2=0; 2） L1 / L2. l 直线与平面的夹角：直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角1）LP ; 2） L / P Am+Bn+Cp=0. l 平面束：通过定直线的所有平面的全体称为平面束过直线的平面束方程为 A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D

9、2)=0二、 极限和连续1 数列极限数列极限：若数列及常数 ，当时，有，则称该数列的极限为，记作或。此时也称数列收敛 ，否则称数列发散。（学会用定义证明数列极限，关键在于如何求得N）数列极限的四则运算：若则有a.； b.； c. 夹逼准则：设，当时，有，则2 函数极限 ，当时，有 ，当时，有左极限 右极限 3 几个重要极限1） 2） 3） 4）5） 6） 7）4 无穷小量无穷小量：若，则称函数是当时的无穷小量。等价无穷小定理：设且存在，则熟记的等价无穷小：时，5 连续函数函数在处连续 =间断点：a. 第一类间断点：及均存在，若称为可去间断点；若称为跳跃间断点；b. 第二类间断点：及中至少一个不

10、存在，若其中一个为，称为无穷间断点；若其中一个为振荡，称为振荡间断点。闭区间上连续函数的性质：1） 零点定理：设，且 则必有使得2） 介质定理：设，则上能取到；3） 最大值最小值定理：设，则上能取到最大值和最小值；三、 一元函数的微分学1 导数的定义设函数，在的某邻域内有定义，若存在，则称函数在点处可导。并称此极限为在处的导数，记做；。几何意义：曲线在处的斜率，。 可导性与连续性的关系： （连续未必可导）2 导数运算四则运算：1） 2） 3） 复合函数求导法则： 参数方程求导法：对参数方程， ，有 3 常数和基本初等函数的导数： 4 微分概念及其运算法则微分定义：若函数在点的增量可表示为，为不

11、依赖于的常数，则称函数在点处可微，记。 定理：在点处可微即微分运算法则：1）；2）；3） ； 4）微分形式不变性：设，分别可微，则复合函数的微分5 Lagrange中值定理费马(Fermat)引理：设是的极值点，在可微，则。罗尔(Rolle)定理：满足：1）在区间a , b上连续；2) 在区间 (a , b) 内可导3) 在(a , b)内至少存在一点，使得。拉格朗日中值定理：满足：1）在区间a , b上连续；2) 在区间 (a , b) 内可导 在(a , b)内至少存在一点，使得推论：若函数在区间I上满足，则在I上必为常数.6 函数的单调性与曲线的凹凸性单调性的判定法：设函数在开区间I上可

12、导，若，则在I内递增（递减）。7 函数的极值与最大值最小值极值可疑点：使导数为0 或不存在的点极值第一判别法：设函数在的某领域内连续，且在空心领域内有导数，当由小到大通过时， 1）“左正右负”，则在取极大值； 2）“左负右正”，则在取极小值。极值第二判别法：设函数在处具有二阶导数，且，1）若，则在取极大值；2）若，则在取极小值。最值判定：设函数在闭区间a , b上连续，则其最值只能在极值点或端点处达到。8 Cauchy中值定理Cauchy中值定理：及满足：1）在区间a , b上连续；2) 在区间 (a , b) 内可导3) 在区间 (a , b) 内 在(a , b)内至少存在一点，使得。9

13、法则：型未定式或型未定式 (不是未定式不能用洛必达法则 )洛必达法则：；（或）2）与在可导，且；存在（或为） 10 泰勒 ( Taylor )公式用多项式近似表示函数设函数在包含的某开区间(a,b)处具有直到阶的导数，则当(a,b)时，有 其中 （在与之间） 特例：1）当时，泰勒公式变为拉格朗日中值定理；2） 在泰勒公式中若取则有麦克劳林（Maclaurin）公式：四、 多元微分学1 极限与连续性平面上的点列的极限：设为平面点列，若，则称是收敛点列，是点列的极限，记做（）。极限：设元函数，是的聚点，若存在常数，对，对一切，有，则称常数为函数当时的极限，记做（也叫重极限）。 PS：多元函数极限要求自变量沿任何方向、任何路径趋于，若找到其两个不同路径上极限不同，则判断多元函数极限不存在。