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1、浅淡挖掘内隐学习的几种途径1967 年，美国心理学家 A.S.Reber 提出了“内隐学习”的概念，这是一种区别于传统 外显学习的不知不觉的学习。学习者的过去经验和已有认知结果沉淀下来形成了一种对事物 属性的无意识结构，这些结构虽然没有整体上升到意识水平，但却潜在地作用于学习者对事 物的认知和行为。如在解一道数学题时，很多情况下，我们能解这道题，但不知道为什么这 样解，即“只可意会不可言传”，这就是内隐学习。一、 数学教学中对内隐学习的认识 在数学学习中，由于数学知识的抽象，人们认为需意识的强烈参与并付出相当大的努力 才能学好数学，所以我们更注重的是有意识的外显学习，对无需意识努力的内隐学习关
2、注不 多。而研究表明，人类抽象概念的形成，对高级规则的掌握，都受到内隐学习的影响，若缺 少对内隐学习的挖掘，学生就只能获得机械、教条的知识，而难以得到由不同情境获取不同 知识与能力的体验，从而很难自主地建构起完整的知识体系，也就很难培养独特的发现问题、 解决问题的能力1。内隐学习的研究和发展，对提高学生的学习效率、减轻学习负担具有重 要的意义，值得我们教师不断挖掘与利用。二、 内隐学习在数学教学中的运用内隐学习为数学教学提供了一种新思路, 对数学教学有着诸多的实践意义, 有助于深化 数学教学改革, 提高数学教学质量。挖掘与利用“内隐学习”的一些途径与方法有：1、通过情境的设计挖掘内隐学习情境是
3、渗透在任何学习过程和迁移中潜在的影响因素，充分利用情境内隐，可以提高学 生的学习兴趣。情境化学习理论还告诉我们，脱离特定情境的学习往往存在形式化、抽象化 的弊病，而适宜的情境往往可以克服这一弊病，促进内隐知识与外显知识的相互联系。例 1 数学归纳法的引入在 20 世纪的最后几分钟里，一项新的多米诺骨牌吉尼斯世界纪录，在北京颐和园体育 健康城综合馆和网球馆诞生了。中国、日本和韩国的62 名青年学生成功推倒340多万张骨 牌，一举打破了此前由荷兰人保持的 297 万张的世界纪录。请同学们分析一下，只要推倒 第1 张骨牌，为什么就有那么多的骨牌也倒下来了呢？从这个实例中你得到了什么启发吗？ 这与我们
4、下面要学习的数学归纳法在原理上是不是一致的呢？在具体情境中设计一系列问题，引入课题，不仅激起了学生学习数学的兴趣，同时诱发 学生从具体问题向抽象问题进行类比，形象的理解数学归纳法的本质，即通过挖掘蕴涵于情 境中的内隐性知识，培养了学生思维的灵活性，合情的联想、猜想和理性思维能力。2、通过体验正确挖掘内隐学习 内隐学习通常不能通过语言、文字或符号进行逻辑的说明，也正因为它具有不可言传的 特点，通常要靠学生自己通过体验获得，通过体验得到的东西让我们感到真实、现实，并在 大脑记忆中留下深刻印象。数学问题中有的知识具有内隐性，不正确加以挖掘就会导致错误， 而通过单纯正面的示范和反复的练习难以得到纠正，
5、必须要有一个“自我否定”的过程1。例2求过点P(2,-3)且与曲线f (x)= x3 - 3x2 + 1相切的直线的方程.错解 注意到点P(2,-3)在所给曲线上，所以切线的斜率k = f(2)= 0 ,过点P(2,-3)的切线的方程为y = -3 .分析 此解法受初中知识的影响，片面理解了曲线的切线的概念，错误地认为切线是满 足和曲线仅有一个交点的直线（某些特例除外，如平行于抛物 线对称轴的直线、平行于双曲线的渐近线且与双曲线仅有一个 交点的直线都不称其为切线）.事实上，曲线在其上某一点P处的切线是割线PQ当点 Q沿曲线无限地趋近于点P时的极限位置，如图1所示的直 线l就是以P为切点的切线，
6、此直线有可能与曲线还有另外 的交点，纠正错误观点“切线与曲线只有一个公共点”，因此 得出，切线并不是以直线与曲线有唯一的交点作为判断的依 据。解设切点为Q (x , y ), f(x )= 3x 2 - 6x，切线0 0 0 0 0方程为y - y = 3x 2 - 6x Ax - x )，将P(2,-3)的坐标代0 0 0 0入，得：-3 - 3 - 3 x 2 +00x 2 - 6 x A2 - x )，解0 0 01 ,故过点 P的切线的斜率为2f(2 )= 0 或 f -=-9 ,切线方程为：y = - 34Z0X帮助学生正确理解“过某一点的切此时，可进一步借助几何画板作出函数的图象图
7、2线”和“在某一点处的切线”意义有别，还可引导学生思索：曲线是否都在切线的同一侧发 生？大部分内隐性知识都是在个体无意识、自动化的学习过程中获得的，单凭老师的讲解， 学生不一定能准确的解题或运用，而在学生自己亲身体验中，无需表达，反而通透。3、利用知识的迁移挖掘内隐学习内隐知识是一种如何去行动的实践性知识，一旦被掌握，就具备了可迁移性。在学习的 累积过程中,我们可以用已知的知识去激活内隐的知识 ,也可以用未知的情境去质疑已知的 规律,利用知识的迁移把内隐的知识挖掘出来并融入知识建构的整体框架之中.例 3 含有绝对值的不等式的引入2请同学们作出向量a、的和与差（学生利用已学过的向量加法的平行四边
8、形法则或三角 形法则很快能完成）。问题 请同学们讨论a - b + b与a + b , a - b有怎样的大小关系？（让前后桌同学组成小组展开讨论）引导 （学生可能对已学过的向量知识有所 遗忘，教师可视时引导）|a|指的是什么？向量可 以用什么来表示？那么a在图形中指的是什么？引导学生指出|a|在图形中就是指有向线段忑的长度，同理b,|a + b，|a- b分别指有向线段 AD，AC，DB 的长度。学生 由是三角形的两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边， 可知rb-fc1fIir|Ife-1a - b a + b a +b，a- b a - b b时左边取到等号，a、b同向时右边取到等号；
9、在式中a、同向且|a |b|时左边取到等号，a、异向时右边取到等号。问题 若把向量推广为实数 a，b 以上不等式是否仍然成立？ 各小组均兴致很高的进行讨论。最后，各小组均猜测结论是成立的，但他们猜测的方式 是不同的。甲组猜测的方式是：向量的模即向量的大小就是一个数，所以将向量变为实数应该成立； 乙组猜测的方式是：用具体的数代入检验。就这样利用知识的迁移挖掘内隐学习将新知与旧知、未知与已知相“链接”，利用所构 建的知识结构去“类比”这个新问题，从而解决新问题，使学生体会到成功的喜悦。4、通过问题的转化与化归挖掘内隐学习内隐学习具有理解性，即内隐学习的产物一说默知识在部分程度上可以被意识到3。 而
10、化归思维是数学中解决问题最基本的手段之一，在解决问题时，不是直接攻击问题，而是 对此问题进行变换、转换，利用内隐学习理解事物的本质，直至最终把问题化归为某个 (些 ) 已经解决的问题。例4已知函数f (x )= x 2 + (x + a )(a为实数)。I2丿(1) 若函数f (x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；(2) 若 f (一 1) = 0，求证：对任意x ,x e (-1,0)f (x )- f (x )|恒成立。1 2 1 2 16分析 对于问题(1)可引导学生挖掘内隐知识，函数f (x)的图象上有与x轴平行的 切线，即函数f (x)的图象上有斜率为0的切线，从而联想到
11、导数的几何意义，所以问题就 化归为f(x)= 0时方程有解，即方程的根的问题。对于问题(2)引导学生对任意 x , x e(-1,0 )的理解，即x , x是区间(-1,0 )内两个独立变量，从而挖掘出问题的本质，1 2 1 2将问题化归为求f (x)的最值。通过转化化归思想 将待解决的陌生问题通过转化，归结为一个比较熟悉的问题来解决， 或将一个复杂的问题转化为一个或几个简单的问题来解决，不仅激活了学生的内隐学习，解 除了学生对解数学综合题的恐惧心理，还可提高学生的思维水平，能够更深刻地理解数学， 灵活地运用数学，从而培养他们的创新能力。5、通过知识的推广挖掘内隐学习思维定势会束缚学生的思维，
12、在解决各种数学问题的时候，如果不注意这一点，就会失 去许多发现的机会。例5已知圆的方程是X2 + y2 = r2，求经过圆上一点M (x , y )的切线的方程。00分析 学生能通过多种方法求得经过圆 上一点 M (x , y ) 的切线的方程为 00x x + y y = r 2，而此时细心的学生会发现圆的方程是x Ox + y Dy = r 2与切线方程 00xx + y y = r2在结构上的特点，发现了数学的美，点燃了学生的内隐学习，便有学生猜测00对于圆心不在原点的圆(x - a)2 + (y - b)2 = r2经过圆上一点M (x , y )的切线方程是否 00为(x - a )
13、(x - a )+(y - b )( y - b )= r 2，通过证明结论是正确的，在品尝了成功的喜悦后, 00更是激起了学生思维的火花，探索问题的欲望，提出问题：若点M (x , y )是圆x 2 + y 2 = r 200外一点，则直线x x + y y = r2是否为过点M (x , y )的圆的一条切线呢？通过圆心到直线 0 0 0 0的距离与半径的比较，发现此直线与圆相交，那这条直线与圆是否有某种关系呢？通过问题的丝丝相扣，不断推广，既挖掘了学生的内隐学习，又培养了学生的探究能力 发散性思维及合情推理。6、通过生活实际挖掘内隐学习许多内隐性知识常常存在于生活实际中，让学生利用自已已
14、有的知识和生活经验去建构 自已的知识框架，使内隐学习发挥独特的作用，这也是挖掘内隐学习很好的途径。例 6 某运输公司有 7 辆载重量为 6t 的 A 型卡车和 4 辆载重量为 10t 的 B 型卡车，有 9 名驾驶员。在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运 360t 沥青的任务。已知每 辆卡车每天往返的次数为：A型卡车8次，B型卡车6次。每辆卡车每天往返的成本费为： A型车160元，B型车252元。每天派出A型车与B型车各多少辆公司所花成本费用最低？一般同学都会采用以下解答：解 设每天出动A型车x辆，B型车y辆，公司所花成本为z元，即：0 x 70 y 4x + y 300 x 70
15、y 4x + y 360作出可行域如图，要使z = 160 x + 252 y取最小值，在可行域内对某个确定的整数y ,x取最小的整数（也可以先定x，再定y的值），这样，在可 行域内可能成为最优解的可行解有（7,1）,（5,2）,（4,3）,（3,4）, 分别代入目标函数，点（5,2）使z = 160 x + 252 y取最小值， 最小值为 1304 元。评注 对于该有部分同学提出疑义：此解答只考虑了在保 证完成任务的情况下使公司每天的开支达到最小，这与实际不 相符，事实上，公司要获取最大利润，应使每吨的成本费最低。教师此时应即时抓住学生思维的火花，跟学生一起去挖掘实际问题中蕴涵的内隐性知识，重 新建立数学模型：若将运输每吨沥清支付的费用最少作为优化目 标， 那么目标函数
