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1、最新版教学资料数学开放性问题一、 填空题1. （2016山东省济宁市3分）如图，ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：AH=CB等（只要符合要求即可），使AEHCEB【考点】全等三角形的判定【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断AEH与CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了【解答】解：ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，BEC=AEC=90，在RtAEH中，EAH=90AHE，又EAH=BAD，BAD=90AHE，在RtAEH和RtCDH中，CHD=AHE，EAH=DCH，EAH=90CHD=BCE，所以根据A
2、AS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE可证AEHCEB故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE三.解答题1（2016山东省滨州市14分）如图，已知抛物线y=x2x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；函数及其图象【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知
3、点E坐标（7，）或（5，），由此不难解决问题（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题【解答】解：（1）令y=0得x2x+2=0，x2+2x8=0，x=4或2，点A坐标（2，0），点B坐标（4，0），令x=0，得y=2，点C坐标（0，2）（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，AB=EF=6，对称轴x=1，点E的横坐标为7或5，点E坐标（7，）或（5，），此时点F（1，），以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6=（3）如图所示，当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1NOC于N，在RTCM1N中，CN=，点M1坐标（1，2+），点M2坐标（1，2）当M3为顶点时
4、，直线AC解析式为y=x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，点M3坐标为（1，1）当点A为顶点的等腰三角形不存在综上所述点M坐标为（1，1）或（1，2+）或（1.2）【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题2（2016四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积（3）直线l经过A、C两
5、点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）连接BC，则ABC的面积是不变的，过P作PMy轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于AGP=GNC+GCN，所以当AGB和NGC相似时，必有AG
6、B=CGB=90，则可证得AOCNOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x22x3；（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x22x3中，令y=0可得0=x22x3，解得x=1或x=3，A点坐标为（1，0），AB=3（1）=4，且OC=3，SABC=ABOC=43=6，B（3，0），C（0，3），直线BC解析式为y=x3，设P点坐标为（x，x22x3），则M点坐标为（x，x3），P点在第四限，PM=x3（x22x3）=x2+3x，SPBC=
7、PMOH+PMHB=PM（OH+HB）=PMOB=PM，当PM有最大值时，PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，PM=x2+3x=（x）2+，当x=时，PMmax=，则SPBC=，此时P点坐标为（，），S四边形ABPC=SABC+SPBC=6+=，即当P点坐标为（，）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则AGP=GNC+GCN，当AGB和NGC相似时，必有AGB=CGB，又AGB+CGB=180，AGB=CGB=90，ACO=OBN，在RtAON和RtNOB中RtAONRtNOB（ASA），ON=OA=1，N点坐标为（0，1），
8、设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，直线m解析式为y=x1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x1【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等在（2）中确定出PM的值最时四边形ABPC的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大3（2016四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：yx23xm，直线l：ykx(k0)，当k1时，抛物线C与直线l只有一个公共点(1)求m的值；(2)若直线l与抛物线
9、C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y3xb交于点P，且，求b的值；(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使SAPQSBPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由xyOl1QPBAl图15xyOl1QPBAl答案图CED考点二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。解：(1)当k1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，方程组有且只有一组解2分消去y，得x24xm0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根0，即(4)24m0m44分(2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，则OACOPD，同理，22，即5分解方程组得x，即PD6分由方程组消去y，得x2(k3)x40AC，BE是以上一元二次方程的两根，ACBEk3，ACBE47分解得b88分(3)不存在理由如下：9分假设存在，则当SAPQSBPQ时有APPB，于是PDACPEPD，即ACBE2PD由(2)可知ACBEk3，PD，k32，即(k3)216解得k1(舍去k7)11分当k1时，A，B两点重合，QAB不存在不存在实数k使SAPQSBPQ12分
