圆的知识点整理版

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1、第三章 圆一与圆有关的概念1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点构成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径.【圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆心和半径拟定了，圆就拟定了】2.圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。不小于半圆的弧称为优弧，不不小于半圆的弧称为劣弧，等于半圆的弧叫半圆. 等弧：在同圆或等圆中，可以互相重叠的弧叫等弧。等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲限度相等）.等弧也可以通过它所对的圆心角、圆周角、弦来进行判断，具体地说：a.在同圆或等圆中，所对的圆心角相等的两段弧是等弧。b.在同圆或等圆中，所对的圆周角相等的两段弧是等弧。c.在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段

2、弧是等弧。【温馨提示：半圆是弧，半圆形不是弧；弧的度数等于弧所对的圆心角的度数.】3. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。通过圆心的弦叫做直径。圆中最长的弦是直径.【温馨提示：一条弦对着两条弧，对着两个圆心角（选择题），一般让求“弦所对的圆心角的度数”，指的是“弦所对的不不小于180的那个圆心角”（填空题）；一条弧对着一条弦，对着一种圆心角】4.圆心角：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.【圆心角AOB的取值范畴是0AOB360】5.圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.6.外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接

3、三角形.三角形外接圆的圆心（外心）到三角形三个顶点的距离相等.【温馨提示：三角形三边垂直平分线的交点叫三角形外接圆的圆心;三角形有且只有一种外接圆，但圆有无数个内接三角形】如下图为例O为外接圆的圆心，即外心.温馨提示：锐角三角形外接圆的圆心（外心）在它的内部； 直角三角形外接圆的圆心（外心）在它斜边的中点上(R=)；钝角三角形外接圆的圆心（外心）在它的外部.7. 内心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形内切圆的圆心（内心）到三角形三边的距离相等. 【温馨提示：三角形三条角平分线的交点叫内切圆的圆心;三角形有且只有一种内切圆

4、，但圆有无数个外切三角形】附注：等边三角形的内切圆和外接圆设等边ABC的边长为a，内切圆的半径为r，则有，外接圆半径R=a直角三角形内切圆设RtABC两直角边分别为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则有或，其中四边形IDCB为正方形，边长ID=r.三角形的外接圆和内切圆比较名称拟定措施图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点.1. OA=OB=OC(即圆心到三角形三个顶点的距离相等).2. 外心不一定在三角形的内部.内心：三角形内切圆的圆心三角形三条内角平分线的交点.1. 圆心到三边的距离相等.2. OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB.3.内心在三角形内部.等边三角形

5、的外接圆半径与它的内切圆半径之比为2:1（如图1）直角三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为=（如图2）等腰三角形的内心和外心虽然不同，但都在底边的垂直平分线上.三角形外接圆半径的求法【即三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商】三角形内切圆半径r的求法二圆的拟定：不在同始终线上的三个点拟定一种圆。过不在同一条直线上的三点作圆的做法：三与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系（1）点在圆内 点在圆内；（2）点在圆上 点在圆上；（3）点在圆外 点在圆外；2.直线与圆的位置关系（1）直线与圆相离 无交点；（2）直线与圆相切 有一种交点；（3）直线与圆相交 有两个交点；三 与圆有关的

6、性质和定理1.圆的对称性：圆是轴对称图形,对称轴是任意一条通过圆心的直线（或直径所在的直线）,它有无数条对称轴.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.圆的旋转不变性：一种圆绕着它的圆心旋转任意一种角度,都能与本来的图形重叠.2.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线通过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。3.圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 4.圆周角定理（1）

7、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。（2）圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径.推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（3）圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所相应的其他各组量都分别相等（补充）平行弦定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.5.圆内接四边形（1）性质定理：性质定理1：圆内接四边形的对角互补即：在中， 四边形是内

8、接四边形 性质定理2：圆内接四边形的一种外角等于它的内对角（2）鉴定定理：（很重要）如果一种四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.推论：如果四边形的一种外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆. 附注：圆的内接平行四边形是矩形； 圆的外切平行四边形是菱形. 6.切线的鉴定定理与性质（1）切线的鉴定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，两者缺一不可 即：且过半径外端 是的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过

9、切点；垂直切线，三个条件中懂得其中两个条件就能推出最后一种。7. 切线长及切线长定理（1）切线长的定义：通过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分（3） 圆外切四边形两组对边的和相等.10. 圆的内正多边形（1） 正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.（2）正多边形与圆的有关定理把圆提成n(n3)等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；通过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；任

10、何正多边形均有一种外接圆与一种内切圆，这两个圆是同心圆.注意：根据正多边形与圆的有关定理、，只要能将一种圆提成n(n3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形.(3)正多边形的其他性质正多边形都是轴对称图形，一种正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.边数相似的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆.(4) 正多边形的有关计算 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角

11、. 正n边形的有关计算公式每个内角；每个外角正n边形边长，内切圆半径，正n边形周长正n边形面积注意：同一种圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比. 这样，同一种正n边形的内切圆和外接圆的相似比常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半径和边心距把正n边形提成2n个全等的直角三角形.附注：（1）正三角形 在中是正三角形（如图1），有关计算在中进行：（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行（如图2），（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进

12、行（如图3），11.扇形、圆柱和圆锥的有关计算公式（1）扇形：弧长公式：； 扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多相应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积（2）圆柱： 圆柱侧面展开图：=圆柱的体积：（2） 圆锥侧面展开图:= 圆锥的体积：一选择题1.与圆心的距离不不小于半径的点所构成的图形是( )A.圆的外部(涉及边界)； B.圆的内部(不涉及边界)； C.圆； D.圆的内部(涉及边界)2.已知O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在O上,则OA的长( )A.等于6cm B.等于12cm； C.不不小于6cm D.不小于12cm3.O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2)

13、,则点P与O 的位置关系是( )A.点P在O内； B.点P的O上； C.点P在O外； D.点P在O上或O外4.下列命题：直径所对的角是900 ；直角所对的弦是直径；相等的圆周角所对的弧相等；对同一弦的两个圆周角相等.对的的有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.下列语句中，对的的是（ ） 直径是弦；弧是半圆； 长度相等的弧是等弧；通过圆内任一定点可以作无数条直径；两个半圆是等弧；优弧比劣弧长；面积相等的圆是等圆；菱形的四个顶点在同一种圆上；可以互相重叠的弧是等弧；直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线，其中对的的是（ ） A. B. C. D.6.下列语句中，不对的的是（ ）A圆既是

14、中心对称图形，又是旋转对称图形 B圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C当圆绕它的圆心旋转8957时，不会与本来的圆重叠D圆的对称轴有无数条，对称中心只有一种7.如果两条弦相等，那么（ ）A这两条弦所对的弧相等 B这两条弦所对的圆心角相等C这两条弦的弦心距相等 D以上答案都不对8.下列语句中，对的的是（ ）A. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等 B.如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等C.如果两条弧相等，那么它们所对的圆周角相等D.如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等9.下列命题中错误的命题有（ ）（1）弦的垂直平分线通过圆心；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）垂直于弦的直径平分弦；（4）圆的对称轴是