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1、高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.3幂函数学案苏教版必修133幂函数1了解幂函数的概念，会画出幂函数yx，yx2，yx3，y，的图象2能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质3会用几个常见的幂函数性质比较大小1幂函数一般地，我们把形如yx(R)的函数叫做幂函数，其中x为自变量，为常数幂函数的定义域是使x有意义的所有x的集合，因的不同，定义域也不同，如函数yx2的定义域为R，而函数y的定义域为x|xR，且x0判断函数是否为幂函数时要根据定义，即x的系数为1，指数位置的为一个常数，或者经过变形后满足条件的均可【做一做1】下列函数是幂函数的有_yx2yyx3xy2xyx3答案：2幂函数的图象与
2、性质函数yx，yx2，yx3，yx1，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示从图中可以观察得到它们的特征如下：【做一做21】，的大小关系是_答案：abc【做一做22】函数的奇偶性是_，单调性是_答案：奇函数在R上单调递增【做一做23】函数yx2的值域为_答案：(0，)当n取不同的有理数时，幂函数yxn的图象及性质剖析：我们只研究n是有理数的情况，规定n是既约分数：(1)如下表所示：yxn奇函数(p奇q奇)偶函数(p偶q奇)非奇非偶函数(q偶)n10n1n0(2)当nN*时，定义域为R；当n0时，定义域为x|x0；当n为负整数时，定义域为x|x0；当n(p，qN*，q1，且p，q互质)时，若q为偶
3、数，则定义域为0，)，若q为奇数，则定义域为R，当n(p，qN*，q1，且p，q互质)时，若q为偶数，则定义域为(0，)，若q为奇数，则定义域为x|x0(3)在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)当n0时，图象都通过原点，并且在(0，)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n0时，图象是除去点(0,1)的直线y1；当n0时，图象都不过原点，并且在(0，)上的图象是下降的，向右与x轴无限靠近，是减函数在直线x1的右侧，指数n越大图象位置越高题型一 幂函数的性质【例1】当x(0，)时，幂函数y(m2m1)x5m3为减函数，求实数m的值分析：幂函数的一般形式为yx，说明其系数为1，由此
4、确定m值解：由条件得解得m2.反思：对于幂函数yx来说，其系数为1，当题目中还有其他性质时，必须根据此性质写出约束条件本题函数在(0，)上为减函数，说明指数小于0.【例2】将四个数1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列分析：本题要用到两类函数，既要运用指数函数的性质，又要运用幂函数的性质，不能混淆两种函数解：因为函数y1.2x在R上单调递增，所以1.20.61.20.51.201.因为函数yx1.2在(0，)上单调递增，所以0.51.20.61.211.21.综上所述，0.51.20.61.21.20.51.20.6.反思：在函数值的大小比较中，0和1是两个
5、特殊值，它们起着桥梁作用题型二 幂函数的图象及其应用【例3】画函数y1的草图，并求出其单调区间分析：此函数的作图有两种途径，一是根据描点的方法作图，二是利用图象变换来作图一般说来，作草图时，利用图象变换较为方便解：y11.此函数的图象可由下列变换而得到：先作函数y的图象，作其关于y轴的对称图象，即y的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y1的图象(如下图所示)从图象知y1的单调递减区间为(，3反思：本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数)；二是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了【例4】已知点(，2)在幂函数f(x)
6、的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)?解：设f(x)xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，将点(，2)代入f(x)xa中，得2()a，解得a2，即f(x)x2；设g(x)xb，因为点在幂函数g(x)的图象上，将点代入g(x)xb中，得(2)b，解得b2，即g(x)x2.在同一平面直角坐标系中作出f(x)x2与g(x)x2的图象如图所示由图象可知：(1)当x1，或x1时，f(x)g(x)；(2)当x1，或x1时，f(x)g(x)；(3)当1x1且x0时，f(x)g(x)反思：幂函数的一般形式是yx(
7、为常数)，要求幂函数的解析式只要解出即可1函数图象的大致形状是_答案：2已知函数f(x)(a1)xa2a1，当a_时，f(x)为正比例函数；当a_时，f(x)为反比例函数；当a_时，f(x)为二次函数；当a_时，f(x)为幂函数解析：当f(x)为正比例函数时，即a2；当f(x)为反比例函数时，即a0或a1；当f(x)为二次函数时，即a；当f(x)为幂函数时，a11，即a2.答案：20或123设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有的值为_答案：1,34比较下列各组中两个值的大小：(1)和；(2)0.180.3和0.150.3.解：(1)因为函数在R上单调递增，又1.51.6，所以.(2)因为函数yx0.3在(0，)上单调递减，又0.180.15，所以0.180.30.150.3.5求出函数f(x)的单调区间，并比较f()与f的大小解：f(x)11(x2)2，它是由g(x)x2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到的g(x)的单调增区间是(，0)，单调减区间是(0，)，f(x)的单调增区间是(，2)，单调减区间是(2，)，f(x)的图象关于直线x2对称(，2)，(2，)，且2()(2)，ff()1
