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1、3.1.2 函数零点的存在性定理（一）教学目标1知识与技能体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间.2过程与方法经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯.3情感、态度与价值观经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣.（二）教学重点与难点重点：掌握零点存在性定理并能应用.难点：零点存在性定理的理解（三）教学方法通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手
2、尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习回顾提出问题1函数零点的概念2函数零点与方程根的关系3实例探究已知函数y= x2+4x 5，则其零点有几个？分别为多少？生：口答零点的定义，零点与根的关系师：回顾零点的求法生：函数y= x2+4x 5的零点有2个，分别为5，1回顾旧知，引入新知示例探究引入课题1探究函数y = x2 + 4x 5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系师：引导学生利用图象观察零点的所在区间，说明区间端一般取整数.生：零点5(6，4)零点1(0，2)且f (6)f (4)0f (0)f (2)0
3、师：其它函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间.f (x) = 2x 1，f (x) = log2(x 1)生：函数f (x) = 2x 1的零点为且f (0) f (1)0.函数f (x) = log2(x 1)的零点为2(1，3)且f (1) f (3)0由特殊到一般，归纳一般结论，引入零点存在性定理发现定理零点存在性定理如果函数y = f (x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)f (b)0那么，函数y = f (x)在区间a，b内有零点，即存在c(a，b)，使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根师生合作分析，并剖析定
4、理中的关键词连续不断f (a)f (b)0师：由于图象连续不断，若f (a)0，f (b)0，则y = f (x)的图象将从x轴上方变化到下方，这样必通过x轴，即与x轴有交点 形成定理，分析关键词，了解定理.深化理解定理的理解（1）函数在区间a，b上的图象连续不断，又它在区间a，b端点的函数值异号，则函数在a，b上一定存在零点（2）函数值在区间a，b上连续且存在零点，则它在区间a，b端点的函数值可能异号也可能同号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数师：函数y = f (x) = x2 ax + 2在(0，3)内，有2个零点.有1个零点，分别求a的取值范围.生：f(x)在(0，1)
5、内有2个零点，则其图象如下3yxO则f(x)在(0，3)内有1个零点则通过实例分析，从而进一步理解定理，深化定理.应用举例例1 求函数f (x) = lnx + 2x 6的零点的个数.师生合作探求解题思路，老师板书解答过程例1 解：用计算器或计算机作出x，f (x)的对应值表和图象.x12345f (x)41.03691.09863.38635.6094x6789f (x)7.79189.945912.079414.1972由表和图可知，f (2)0，f (3)0，则f (2) f (3)0，这说明函数f (x)在区间(2，3)内有零点.由于函数f (x)在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点
6、.师生合作交流，体会定理的应用练习巩固练习1.利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f (x) = x3 3x + 5；（2）f (x) = 2xln(x 2) 3；（3）f (x) =ex1 + 4x 4；（4）f (x) = 3 (x + 2) (x 3) (x + 4) + x.学生尝试动手练习，老师借助计算机作图，师生合作交流分析，求解问题.练习1解：（1）作出函数图象，因为f (1) = 10，f (1,5 ) = 2.8750所以f (x) = x3 3x + 5在区间(1，1.5)上有一个零点.又因为 f(x)是上的减函数，所以f(x) = x3 3
7、x + 5在区间(1，1.5)上有且只有一个零点.（2）作出函数图象，因为f(3)0，f(4)0，所以f(x)=2xln(x2) 3在区间(3，4)上有一个零点.又因为f(x)=2xln(x2) 3在上是增函数，所以f(x) 在上有且仅有一个(3，4)上的零点（3）作出函数图象，因为f(0)0，f(1)0，所以f (x) =ex1 + 4x 4在区间(0，1)上有一个零点又因为f(x) =ex1 + 4x 4在上是增函数，所以f(x)在上有且仅有一个零点.（4）作出函数图象，因为f (4)0，f (3)0，f (2)0，f (2)0，f (3)0，所以f (x) = 3 (x + 2) (x
8、3) (x + 4) + x在(4，3)，(3, 2)，(2，3)上各有一个零点.尝试学生动手模仿练习，老师引导、启发，师生合作完成问题求解，从而固化知识与方法，提升思维能力.归纳总结1数形结合探究函数零点2应用定理探究零点及存在区间.3定理应用的题型：判定零点的存在性及存在区间.学生总结师生完善补充学会整理知识，培养自我归纳知识的能力课后练习3.1第二课时 习案学生自主完成整合知识，提升能力备选例题例1 已知集合A = xR|x2 4ax + 2a + 6 = 0，B = xR|x0，若AB，求实数a的取值范围.【解析】设全集U = a|= (4a)2 4 (2a + 6)0 = = 若方程
9、x2 4ax + 2a + 6 = 0的两根x1，x2均非负，则因为在全集U中集合的补集为a|a1，所以实数a的取值范围是a|a1.例2 设集合A = x | x2 + 4x = 0，xR，B = x | x2 + 2 (a + 1) x + a2 1 = 0， xR，若AB = A，求实数a的值.【解析】A = x | x2 + 4x = 0，xR，A = 4，0.AB=A，BA.1当B = A，即B = 4，0时，由一元二次方程根与系数的关系得2当B=，即方程x2 + 2 (a + 1)x + a2 1 = 0无实解.= 4 (a + 1)2 4 (a2 1) = 8a + 80.解得，a1.3当B = 0，即方程x2 + 2(a + 1)x + a2 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，4当B = 4时，即需无解.综上所述，若AB=A，则a1或a = 1.
