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1、 长春市普通高中高三质量监测（四） 数学理科第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 已知集合，则中元素的个数为A. B. C. D. 2. 已知复数满足 ，则 A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知，则A. B. C. D. 5. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内可填入的条件是是否开始输出结束A. B. C. D. 6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面
2、积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D. 8. 已知实数满足， 仅在处取得最大值，则的取值范围是A. B. C. D. 9. 如图，从高为的气球上测量待建规划铁桥的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则桥的长为A. B. C. D. 10. 为双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左顶点和右焦点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 11. 棱长为的正四面体中，为棱上一点（不
3、含两点），点到平面和平面的距离分别为，则的最小值为A. B. C. D. 12. 已知是定义在上的函数的导数，满足，且，则的解集为 A. B. C.D. 第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.已知圆的圆心在直线上，且经过原点和点，则圆的方程为 _.14. 任取实数，则满足的概率为_.15. 等差数列的前项和为，已知，则使取最小值的等于_ _.16. 下列说法中正确的有：_.已知直线与平面，若，则；
4、用数学归纳法证明，从到时，等式左边需乘的代数式是；对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；在判断两个变量与是否相关时，选择了个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型为，模型为，模型为.其中拟合效果最好的是模型；在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）已知函数.（1）利用“五点法”列表，并画出在上的图象；（2）分别是锐角中角的对边.若，求的周长的取值范围.18. （本小题满分12分）某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用
5、时的安全性.检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表：（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？（2）依据其行业标准，该类产品电阻在18,22内为合格品.以上述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该批次产品中随机抽取5件，记随机变量表示其中合格品个数，求随机变量的分布列、期望和方差.（附：回归方程：，其中：参考数据：）19. （本小题满分12分）在四棱锥中，平面，为中点.（1）证明：平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长.20（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，的最小值为3，且
6、的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）当直线不垂直于轴时，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；（2）函数有两个零点,试判断的符号，并证明.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.如图，是圆的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线于点.（1）求证：是的角平分线；(2) 求证：.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程.在极坐标系中，点的坐标是，曲线的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐
7、标系，斜率为的直线经过点.（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.已知函数，不等式对恒成立.(1)求的取值范围；(2) 记的最大值为，若正实数满足，求证：.长春市普通高中高三质量监测（四）数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. B2. D3. A 4. B5. C6. C7. B8. B9. A 10. C 11. D12. A简答与提示：1. 【试题解析】B 由题意可知，所以. 故选B.2. 【试题解析】D复数,则. 故选D.3. 【试题解析】A“”
8、等价于“”，“”等价于“”，故选A.4. 【试题解析】B由可知，则. 故选B.5. 【试题解析】C 由程序框图可知，要输出，需时条件成立，当时条件不成立，从而. 故选C.6. 【试题解析】C由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为. 故选C.7. 【试题解析】B由题意可知，进而，从而. 故选B.8. 【试题解析】B可行域如图所示，目标函数可化为，若目标函数仅在处取最大值，则，即. 故选B. 9. 【试题解析】A设气球在地面上的射影点为，在中，在中，. 故选A.10. 【试题解析】C 由题意可知，设双曲线左焦点为，由为等边
9、三角形，所以，从而，在中，由余弦定理得，解得或(舍).故选C.11. 【试题解析】D 连结，由正四面体棱长为1，有，由于，有，由可得，所以. 故选D.12. 【试题解析】A 由可知，即在R上单调递增，由得，则当时，. 故选A.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 6或716. 简答与提示：13. 【试题解析】由题意可知，该圆心原点和点的中垂线上，又在直线上，因此圆心为，半径为，因此圆的方程为. 14. 【试题解析】由题意，点所满足的区域如图所示，因此条件下，的概率即为图中阴影面积与正方形面积的比值，其中阴影面积为，由几何概型可知概率为. 15. 【试题解析
10、】由题意可知，而，故公差，则，现要求的最小值，对上式求导可知，当或时取最小值.16. 【试题解析】由题意可知，中的位置不确定，因此错误；用数学归纳法证明 ，从到时，等式左边需乘的代数式应为，因此错误；满足合情推理，因此正确；根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，因此正确；根据空间直角坐标系的性质可知，关于轴对称的点对为和，因此正确. 故答案为.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【试题解析】(1) 将函数化简成为，根据列表可知函数图像如图所示. (6分)(2) 在锐角中，可知，由正弦定理可知，即，周长，其中，因此的取值
11、范围是.(12分)18. (本小题满分12分)【试题解析】(1)由题意可得，所以回归直线，故当电压加为110伏时，估计电流为5.06安培 (6分)(2)经计算，产品编号为的不合格品，其余为合格品，合格概率为则，有的分布列为：012345由于，则；. (12分)19. (本小题满分12分)【试题解析】解：取的中点为，连结(1) 是的中点， ，且，四边形为平行四边形，又 平面，平面所以平面 (6分)(2)以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，由题意可求得：.设为平面的法向量，为平面的法向量，则有：，所以，所以二面角的余弦值为，化简得，所以，即 (12分)20. (本小题满
12、分12分)【试题解析】解：(1) 因为是过焦点的弦，所以当轴时，最小，且最小值为，由题意可知，再由椭圆定义知，的周长为，所以，所以椭圆的方程为 (4分)(2)设方程为，则，化简得所以，则方程为化简有，将代入可得，所以直线恒过定点，所以设，则，整理得，所以因为，所以，所以 (12分)21. (本小题满分12分)【试题解析】解：(1) (4分)(2)易知，不妨设所以所以令，所以在上单调递减，而，所以当时，所以当时，；当时，. (12分)22. (本小题满分10分)【试题解析】解(1)AB是圆O的直径，,即 又MN垂直BA的延长线于点N，即M、N、A、D四点共圆， 由于，所以所以是的角分线(5分)(2) M、N、A、D四点共圆， B、C、A、D四点共圆， +有 B、C、M、N四点共圆，所以所以 (10分)23. (本小题满分10分)【试题解析】解(1)由曲线的极坐标方程可得，因此曲线的直角坐标方程为点的直角坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为为参数. (5分)(2) 将为参数代入，有，设，对应参数分别为，有，根据直线参数方程的几何意义有，=. (10分)24. (本小题满分10分)【试题解析】(1)，所以. (5分)(2)由(1)知所以因为，所以，又因为，所以（当且仅当时取“”）.欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
