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1、全等三角形相关模型总结一、角平分线模型（一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE1射线ACA、例题1、如图，在 ABC中，/ C=90 AD 平分/ CAB, BC=6cm, BD=4cm，那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.2、如图，已知，/1 = Z 2，/ 3=7 4,求证：AP平分/ BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形 ABCD中，BCAB, AD= CD, BD平分/ ABC,求证：7 A+7 C= 180(二)角平分线+垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长 ED交射线OB于F 例 1、如图，在 ABC中，/ ABC= 3/ C,辅助线：过点E作EF/射线OBAD是/
2、 BAC的平分线，BEX AD于F .#求证：BE J(AC _AB).2#例2、如图，在 ABC中，/ BAC的角平分线 AD交BC于点D,且AB= AD,作CM丄AD交AD的延长线于 M.求证：AM =-(AB AC).（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使0B= 0A,从而使 OAWA OBC .A、例题1、如图，在 ABC 中，/ BAC=60,Z 0=40, AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC 交 AC于 Q,求证：AB+ BP= BQ+ AQ .2、如图，在 ABC中，AD是/ BAC的外角平分线， P是AD上异于点A的任
3、意一点，试比 较PB+ PC与AB+ AC的大小，并说明理由 .#B、模型巩固1、在厶ABC中，AB AC, AD是/ BAC的平分线，P是线段 AD上任意一点（不与 A重合） 求证：AB-AC PB PC .2、如图， ABC 中，AB= AC,/ A= 100。，/ B 的平分线交 AC 于 D, 求证：AD+ BD= BC .3、如图， ABC中，BC= AC, / C= 90,/ A的平分线交 BC于D, 求证：AC+ CD= AB .#:、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等:操作过程：（1）将厶ABD逆时针旋转90,得厶ACM也 ABD,从而推出厶
4、ADM为等腰直角三角形（2）辅助线作法：过点 C作MC丄BC,使CM= BD,连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等:操作过程：连结AD.(1 )使 BF= AE (或 AF= CE ,导出 BDF 也 ADE. (2)使/ EDF+Z BAC= 180,导出 BDF 也 ADE.A、例题1、如图，在等腰直角 ABC中，/ BAC= 90,点M、N在斜边BC上滑动，且/ MAN = 45 试探究BM、MN、CN之间的数量关系.#2、两个全等的含有 30, 60角的直角三角板 ADE和ABC,按如图所示放置，E、A、C三 点在一条直线上，连接 BD,取BD的中点M，连
5、接ME、MC.试判断 EMC的形状，并证明你的结论 B、模型巩固1、已知，如图所示， RtAABC中，AB= AC, / BAC= 90, O为BC中点，若 M、N分别在 线段AC AB上移动，且在移动中保持 AN= CM.(1) 试判断 OMN的形状，并证明你的结论.(2) 当M、N分别在线段 AC AB上移动时，四边形 AMON的面积如何变化？2、在正方形 ABCD中，BE= 3，EF= 5，DF= 4，求/ BAE+Z DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1 ）禾9用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略） （2 ）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形#（四）将等腰
6、直角三角形补全为正方形，如下图:#A、例题应用1、如图，在等腰直角 ABC中，AC= BC,/ ACB= 90, P为三角形 ABC内部一点, 满足 PB= PC, AP= AC,求证：/ BCP= 15 .三、三垂直模型（弦图模型）.由厶ABEABCD导出 ED=AE ABE和厶ACF均为等边三角形结论：() ABFA AEC .(2) Z BOE=Z BAE= 60 (3) OA平分/ EOF (四点共圆证)拓展： ABC和厶CDE均为等边三角形结论：(1) AD= BE;(2) Z ACB=Z AOB;(3) A PCQ为等边三角形；(4) PQ/ AE;(5) AP= BQ;(6) C
7、O平分/ AOE;(四点共圆证)(7) OA= OB+ OC;(8) OE= OC+ OD .(7), ( 8)需构造等边三角形证明)#例、如图，点M为锐角三角形 ABC内任意一点，连接 AM BM CM以AB为一边向外作等 边三角形厶ABE将BM绕点B逆时针旋转60得到BN连接EN(1) 求证： AMBA ENB(2) 若AM+BM+C的值最小，则称点ABC的费尔马点.若点ABC的费尔马点，试求此时/ AMB / BMC / CMA的度数；(3) 小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图，分别以厶ABC 的AB AC为一边向外作等边 ABE和等边 ACF连接CE BF,设
8、交点为 M则点M 即为 ABC的费尔马点试说明这种作法的依据.#AS丄BC交FD于T,2、 ABD和厶ACE均为等腰直角三角形 结论：（1） BE= CD; （2） BEX CD .3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形结论：(1)BD= CF; (2) BDX CF .变式1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形, 求证：（1） T 为 FD 中点；（2） SIAbc=S；adf#变式2、四边形 ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S, 求证：AS丄BC .4、如图，以 ABC的边AB AC为边构造正多边形时，总有：.1- 2=180 -#/M P、N三点
9、共线五、半角模型1条件：,且：+二=180 ,-两边相等.2思路：1、旋转辅助线：延长 CD到E,使ED=BM连AE或延长CB到F,使FB=DN连AF将 ADN绕点A顺时针旋转90得厶ABF,注意：旋转需证 F、B M三点共线结论：(1) MN = BM + DN;(2) C、cmn =2 AB ;(3) AM、AN 分别平分/ BMN、/ MND .2、翻折（对称）辅助线：作API MN交MN于点P将 ADN ABM分别沿AN AM翻折，但一定要证明A、例题例1、在正方形 ABCD中，若M、N分别在边BC CD上移动，且满足 MN = BM + DN, 求证：(1)Z MAN = 45;(2
10、) C、cmn =2 AB ;(3) AM、AN 分别平分/ BMN 和/ DNM .变式：在正方形 ABCD中，已知/ MAN = 45，若M、N分别在边 CB DC的延长线上移动,AH丄MN，垂足为H,(1) 试探究线段 MN、BM、DN之间的数量关系；(2) 求证：AB= AH例2、在四边形 ABCD中，/ B+Z D= 180 , AB= AD,若E、F分别为边 BC CD上的点,1且满足 EF= BE+ DF,求证：.EAFBAD .2变式：在四边形 ABCD中，Z B= 90,Z D= 90, AB= AD,若E、F分别为边 BC、CD上1 的点，且 EAFBAD，求证：EF= BE+ DF .2#
