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1、长春师范大学本科毕业论文分 类 号： TP391 学号：1207140211学号：12345678910本科毕业论文浅析一致收敛性在函数的解析性中的重要作用Uniform convergence analyses into the important role of analytical function姓 名： 韩 蕾 1专 业： 数学与应用数学 1指导教师姓名： 南 广 仁 1指导教师职称： 讲 师 12016年5月IV摘 要一致收敛性是数学分析中的一项极其重要的课题众所周知的，函数的解析性实际上就是指函数的连续性，可微性，可积性而函数列，函数项级数的一致收敛性又是保证其极限函数，和函数具
2、有连续性，可微性，可积性的重要条件鉴于以上所言，本文在前人已有的研究基础上，以连续性，可微性，可积性为基本切入点，列举两个一致收敛在解析函数中的应用，探讨一致收敛性在函数解析性中的作用本文主要内容大致包括以下三个部分：一，一致收敛性的概念，判定以及在函数的解析性中的几种应用；二，函数的解析性的内容，几项基本性质；三，一致收敛性在函数的解析性中的应用实例关键词：一致收敛性 解析性 连续性 可微性 可积性 Abstract Uniform convergence is a very important part in mathematical analysis. It is well known，
3、 function analytic actually refers to the continuity， the differentiability， and the integrability of function. Which is an important condition to ensure a series of uniform convergence and ensure the differentiability， and the integrability of the limit function and the function continuity. This ar
4、ticle， on the basement of former research on continuity， differentiability， and integrability ， cites two examples about application of the analytic function， explores the role of uniform convergence in the analytic function. In this paper， the main content includes the following three parts: first，
5、 the concept and estimate of uniform convergence as well as some applications of analytic function ； Second，the content of the analytic function ， several fundamental properties； Three， application and instances of uniform convergence in analytic function.Key words: Uniform convergence Analytic Cont
6、inuity Differentiability Integrability目 录摘 要IAbstractII第一章 绪 论11.1 课题的研究背景及意义11.2 一致收敛性在函数解析性中的应用概况11.2.1 一致收敛性简介11.2.2 一致收敛性在函数的解析性中的应用的应用概况11.3 全文研究内容及章节安排1第二章 一致收敛性的判定与性质32.1 一致收敛性的内容32.2 一致收敛性的判定32.3 一致收敛的性质52.4 小结6第三章 关于函数的解析性的初步认识83.1 函数的连续性83.1.1 函数连续性的定义83.1.2 一致收敛性在函数的连续性中的应用83.2 函数的可积性83.2
7、.1 可积函数类83.2.2 一致收敛性在函数的可积性中的应用83.3 函数的可微性93.3.1 函数的可微性的定义93.3.2 一致收敛性在函数的可微性中的应用93.4 小结9第四章 一致收敛性在函数的解析性中的应用114.1 利用函数列判断函数的解析性114.2 利用幂级数求函数的积分11第五章 结 论12致 谢13参考文献14长春师范大学本科毕业论文（设计）原创性声明15长春师范大学本科毕业论文（设计）版权使用授权书15第一章 绪 论1.1 课题的研究背景及意义随着人类对数学研究的不断深入，人类在数学上的研究越发成熟，对数学知识的应用也越发深入人类的生活与工作之中作为高等数学中重要的内容
8、之一，函数有着悠久的历史以及广泛的应用其中函数的各项解析性质的涉及面非常的广泛，有很多复杂的计算都是用它来解决的函数的解析性理论在数论，电学，工程等方面都有重要的应用同时，它也已经深入到了微分方程，积分方程，概率论和数论等多门学科当中而在解决这类问题时，函数的一致收敛性都起着至关重要的作用这使得我们有足够的理由继续进行更深刻的研究，为整个社会经济发展和相关理论基础提供保障1.2 一致收敛性在函数解析性中的应用概况 一致收敛是函数项级数中一项十分重要的知识，它不但本身是函数项级数的一项性质，还可以推导出函数项级数的许多其他性质同时，它还可以推导出和函数的各项解析性质级数以及级数的一致收敛性在函数
9、的解析性中的许多地方都有广泛的应用，在函数的解析性中有着十分重要的地位 1.2.1 一致收敛性简介在数学研究中，一致收敛性是函数列与函数项级数的一种收敛定义它比逐点收敛更强，同时又能保持连续性，可微，可积等重要的分析性质函数列与函数项级数一致收敛的几项定理还可以用于判别其极限函数与和函数的解析性质比如根据函数列每项的连续性来判断极限函数的连续性等等一致收敛性是保证其和函数连续与可微的重要条件，而函数项级数又是研究函数性质时一个极其重要的方法与手段一直以来不断地有科学工作者投身于对一致收敛性的研究之中，一致收敛的性质以及应用越来越完备与广泛1.2.2 一致收敛性在函数的解析性中的应用的应用概况函
10、数列，函数项级数一致收敛是保证其极限函数，和函数连续的重要条件，也是保证极限函数与和函数可积可微的重要条件而连续性，可积性，可微性正是函数的解析性而函数项级数又是在研究函数的解析性时一项十分常用的手段，由此可见一致收敛性在函数的解析性中的重要地位本文中就利用一致收敛性的相关定理判别解析性，以及求收敛半径两方面举例说明了一致收敛性在函数解析性中的应用概况1.3 全文研究内容及章节安排本文阐述了一致收敛性在函数解析性中的应用以及作用，在分析了函数连续性，可微性，可积性在二者间的串连得出结构如下：第一章 首先介绍了课题的研究背景及意义，其次简要说明一致收敛性在函数的解析性中的应用第二章 本章介绍了一
11、致收敛性的内容，判定与性质第三章 本章介绍了函数的解析性的内容以及它所具有的几项简单性质第四章 本章通过实例证明一致收敛在函数的解析性中的应用，且选取的均为简单明了的例子，借应用来凸显作用第五章 本章对前面的几章进行了归纳总结，通过对一致收敛性与函数的解析性的概念，性质的特点进行对比分析，以第四章的实例为依据，总结归纳出一致收敛性在函数的解析性中的应用以及作用 本文通过先分述，再举例，最后总述的方法系统的阐述了一致收敛在函数解析中的应用以及作用2第二章 一致收敛性的判定与性质2.1 一致收敛性的内容 想要研究一致收敛性在函数的解析性中的应用以及作用，我们首先就要了解什么是一致收敛性设函数列与函
12、数定义在同一数集上，若对任给的正数，总存在一正数，使得当时，对一切，都有，则称函数列在上一致收敛于，记作 ，22.2 一致收敛性的判定为了研究一致收敛的性质，首先简要的了解判定函数项级数的一致收敛性的几种方法，定义法在此不再赘述 （1）定理证明法函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是 （2.1）例2.1 定义在上的函数项级数，由于 ， 知道级数在上不一致收敛 对任意 ， 可得级数 在上内闭一致收敛 （2）魏尔斯特拉斯判别法设函数项级数定义在数集上，为收敛的正项级数，若对一切，有， （2.2）则函数项级数在上一致收敛例2.2 函数项级数，在上一致收敛，因为对一切有，而正项级数是收敛的此类判别法
13、是根据级数各项的特点来判别级数是否一致收敛 （3）阿贝尔判别法设（）在区间上一致收敛；（）对于每一个，是单调的；（）在上一致有界，即存在正数对一切和正整数，使得， 则级数在上一致收敛证 由（），任给，存在某正数，使得当及任何正整数，对一切，有又由（），（）及阿贝尔引理得到 （4）狄利克雷判别法 设 （）的部分和函数列（）=（） （=1，2，） 在上一致有界； （）对于每一个，是单调的； （）在上一致收敛于0， 则级数在上一致收敛 此定理证法与2.2.3一致，故此不在多加赘述2.3 一致收敛的性质 本文想要研究一致收敛性在函数的解析性中的应用，对一致收敛性的性质进行了解是极其必要的本章节列举了一致收敛函数列及函数项级数的几项性质 在开始了解一致收敛性的性质前首先了解一条定理 定理 设函数列在上一致收敛于，且对每个，则和均存在且相等8 （1）函数列的连续性若函数列在区间上一致收敛，且每一项在上都连续，则其极限函数在上也连续由以上性质可得到以下推论：若连续函数列在区间上内闭一致收敛于，且每一项在上都连续，则在上连续10而函数的连续性正是函数的解析性中的一项性质例2.3 在上不一致收敛，但内闭一致收敛，其极限函数在上是连续的（2）可积性若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则
