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1、不确定性原理的推导一、（普遍的）不确定性原理推导:对于任意一个可观测量A,有（见（12）式）：b = （A 一艸 |（A -艸）= ff）（1）式中：/ 三（2 4）0同样地，对于另外一个可观测量B，有：=（sg）式中：g三（斤一3）0由施瓦茨不等式（见（16）式），有：b树珂/Vg|g哥/|g对于一个复数Z （见（17）式）：|2 =Re（z）24-hn（z）2 hn（z）2 =l（-f（3）2z令z =/|g，式：b；&彳寺彳 g）-g|。）又/1 g=- （A）y/（A - 何）肖）彳叫（人一）（斤一何）0） 彳叫应一期巧一斤+何）0）=”亦P）一” 2p）+（P 6”） +B（p|p=
2、码-9+0类似有:川g彳刼）-（对可所以昉刀彳码-俾） 可）（5）式中对易式：入力三丽把（5）代入（4）,得（普遍的）不确定性原理：（6）二、位置与动量的不确定性设测试函数几I）,有（见（23）式）：/+曹（/） 一葺时）h（ Jidf h dv hdfi i d r i d v i cLr J=（7）去掉测试函数，则:A = X.B = /? t 把（8）代入（6）：-由于标准差是正值，所以位置与动量的不确定性:三、时间与能量的不确定性由（见（24）式）：(10)叮加-可得：b、Qp=加，加卜3所以时间与能屋的不确定性：附：1、数学符号及常量X:X的平均值&|0：矢量（函数）a和0的点积（内
3、积）j的不确定程度，即丿的标准差hx h = ,其中 A=6.6260693（11） 1034 J s 为普朗克常量 2龙/：z2=-l2、有关公式推导式：洞00）巧式：对于|何0和9|0|0）设67 =（心呂,兀,爲），0 =（儿儿,儿，,儿）则Ia|0）=g + 耳儿 + 5 儿 + + y,）2a|a=（彳+三+丘+兀）0|0=（）+）+）(12)(13)(14)(15)构造方程:(兀一 y)2 + (tx2- y2)2 + (血一 y3)2 + + (% yn)2 = 0其中/为未知数显然，该方程最多仅有一个对f的解该方程可写为：（彳+丘 + +-+x；）t2 - 2（i+x2y2+禺
4、儿+兀”儿）+（y； + y； + yl + + y；）= o因为其解只有o或i个，所以（）：4（砒+无儿+耳儿+ + X”儿）4（对+疋+ +兀：）$： +）弓+ yl + ） 0把（12）、（13）、（14）式代入，得：|00口0|0（式：设 z = ci + ib则(“/)#( ib)-(a-ib)2=- (2ib)2 = b2Im 7所以(17)Im F=(Z + M2i（6）式：薛定愕方程:加竺一乂竺+艸dt 2m dx可以写做:dt 2m dx h及其共轨式:更L一匹dt 2m dx h所以又由（13）、（14）式，有:利用分部枳分公式：（15）式可以写为ill2wddx对第二项再分部积分,所以:dx2 dx2ih2m(19)二匚训血ih r2OX dtdx dx執T篇妙+就d/P cLrdx dx i消去边界项（在8处P趋于0）,得:dx（P）= /7（V）=d/(20)(21)(22)则有（6）式中的（儿”为算符）:x = X 工（4/疗（力=工C/-井U）= E（/-2j（；hO）2）P（j） =工p-2工jpe+uY工p=02加一厅=丹所以，标准差：gjf）-（24）参考文献：Introduction to quantum mechanicsDavid J Gnffidis
