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1、数值计算方法试题一一、填空题(每空1分，共17 分)1、如果用二分法求方程x3 + x-4二0在区间1,2内的根精确到三位小 数，需对分()次。2、迭代格式xk+1 = xk +a(x2 - 2)局部收敛的充分条件是取值在 ( )。X 30 X 1S (x) = 13、 已知1出-1)3 + a(X -1)2 + b(X -1) + c 1 X 2时k=0(x 4 + x 2 + 3)1 (x)=k kk)。5、设f (x) = 6x7 + 2x4 + 3x2 +1 和节点 xk=k/2,k = 0,1,2,，则 f x ,x ,x = 0 1 n和如f =。0 6、 5个节点的牛顿-柯特斯求
2、积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。7、b k(x)*0是区间0,1上权函数p (x) = x的最高项系数为1的正交多项kk=0式族，其中 9 0( x) = 1，则:丹 4(x)dx =。f x - ax = b 1 2 18、给定方程组-ax +x2 = b2，a为实数，当a满足，且0o 2时，SOR迭代法收敛。f yr = /(x，y)9 、 解初值问题i y(x)= y0y0 = y + hf (x , y )n +1nn nfh y = y +只f (x ,y ) + f (x ,y)曰i n+1n 2 n nn +1 n +1 是阶方法。10 aA = 0 1 a
3、的 改 进 欧 拉 法)时，必有分解式A = LLT，10、设_a a 1 _，当 a e (其中l为下三角阵，当其对角线元素1卫二123)满足()ii 条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题(每题2 分)1、解方程组Ax = b的简单迭代格式x(k+1)二Bx(k)+ g收敛的充要条件是 ( )。(1)P(A) 1,(2) P(B) 1,(4) P (B) 12、在牛顿-柯特斯求积公式：lbf W(b - a忆C(n) f (Xi )中，当系数C(n)I =0i是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当( ) 时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1) n 8，(2) n 7，(3)
4、n 10，(4) n 6，3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()( 1)二次；( 2)三次；( 3)四次；( 4)五次hh4、若用二阶中点公式yn+1 = yn + hf (Xn + 2，+ 4 了 求解初值问题y = -2y,y(0) =1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为 ( )。(1)0 h 2,(2)0 h 2,(3)0 h 2,(4)0 h 8时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。Jbf (x)dx q 工 A.f (x.)3、形如ai=i i的高斯(Gauss)型求积公式具有最
5、高代数精确度的次数为2n +1。()A =4、矩阵2a0 0A =5、设1 0、1 11 2丿0、0a丿的 2 范数IIA2 =9。(,则对任意实数a丰0 ,方程组Ax = b都是病态的。6、7、(用也)设 A e Rnxn，(区间la,b上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。()Q e Rnxn，且有QTQ = I (单位阵)，则有凶2 =IQa2。 )()对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解：厂2:4 0)的迭代公式为:x =(x + ) x 0 k = 0,1,2 k+12 k x 0证明：对一切k = 1,2,化xa，且序列* 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。六
6、、(9分)数值求积公式”(x)dx “討(1) + f (2)是否为插值型求积公 式？为什么？其代数精度是多少？七、(9分)设线性代数方程组AX = b中系数矩阵a非奇异，x为精确IHI解，b丰0，若向量壬是AX = b的一个近似解，残向量r二b - AX， cond (A)证明估计式：iixb (假定所用矩阵范数与向量范数相容)。八、(10分)设函数f(x)在区间b,3上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H(x)，并导出 其余项。i0xi0f (xi)-1八xi)3121213九、(9分)设匕”(x)1是区间a,b上关于权函数w(x)的直交多项式序 列，x
7、(i 二 1,2,n,n +1)为p (x)的零点，in+1li(x)(i = h2,n，n +1)是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，bf(x)w(x)dx色A)为高斯型求积公式，证明:k 11)(1)当 0 k, j n, k 丰 j 时,Ap (x )p (x ) 0 i k i j ii12)J bl (x)l (x) w(x)dx 0(k 丰 j)a k j J bl 2( x) w( x)dx Jb w( x)dxa kak1(3)十、(选做题8分)若 f (x) W n+1( x) (x - x0)( x - x1)(x - xn )，x(i 0,1,n)互异，求 /x0,x，,x 的值,
