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1、 不等式恒成立问题的处理方法1、转换为求函数的最值恒成立的最大值;恒成立的最小值。例1、已知函数在处取得极值,其中为常数。(1)试确定的值; (2)讨论函数的单调区间;(3)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围。解:(1)(2)略(3)由(2)知,在处取得极小值,此极小值也是最小值。要使恒成立,只需,即,从而,解得或,的取值范围为。例2、已知对任意恒成立,试求实数的取值范围。解:等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立。由于在上为增函数,则,所以。例3、函数在上既是奇函数又是减函数,且当时,有恒成立,求实数的取值范围。解:由得到:因为为奇函数,故有恒成立,又因为为减函数,从而有对恒成立
2、;设,则对于恒成立,函数,对称轴为。当时,即,又当,即时,即,又,当时,恒成立。故由可知:。2、主参换位例4、若不等式对恒成立,求实数的取值范围。 例5、若对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围。解:例6、已知函数,其中为实数。若不等式对任意都成立,求实数的取值范围。解:由题设知,对任意,不等式都成立,即,都成立。设(),则是一个以为自变量的一次函数。恒成立,则,为上的单调递增函数。所以对任意,恒成立的充分必要条件是,于是的取值范围是。3、分离参数(1)将参数与变量分离,即化为(或)恒成立的形式;(2)求在上的最大(或最小)值;(3)解不等式(或),得的取值范围。适用题型:参数与变量能分离;
3、函数的最值易求出。例7、当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 。解:当时,由得。令,则易知在上是减函数,所以时,则。例8、已知函数,其中。(1)当满足什么条件时,取得极值;(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围。解:(1)(2)在区间上单调递增在上恒成立恒成立,;设,令得或(舍),当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,;当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,。综上,当时, ;当时,。4、数形结合例9、若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是 。解:,不等式恒成立,则由一次函数性质及图象知,即。例10、当时,不等式恒成立,求实数的取值范围。例11、已知关于的函数,其中,若当在区间内任意取值时,的值恒为正,求实数的取值范围。解:,令,则,则有,于是问题转化为:当时,恒成立,求实数的取值范围。因为是关于的一次函数,则当时,恒成立的充要条件是,解得。所以当时,;当时,。