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1、例谈一元二次不等式的解法本文举例分析一元二次不等式的解法,供同学们学习时参考.一、数形结合法例1 二次函数的部分对应值如下表: 0 1 2 3 4 6 0 0 6则不等式的解集为解:由的图象过三点,可知,且对应方程的根为结合二次函数的图象得不等式的解集为二、利用补集思想例2已知函数,若在区间内至少存在一个实数,使,则实数的取值范围是解:假设在区间内不存在任何实数,使,则解得,或 故在区间内至少存在一个实数,使,则实数的取值范围三、换元法例3关于的不等式的解集为,求实数的值解:设 则不等式可化为于是,问题转化为的解集为即(1)与(2)同解,展开,得(3)由(1)、(3)比较系数,得解得四、逆求法
2、例4设关于的不等式的解集为, 其中,试求的解集.解:因为不等式的解集为,所以,不等式的解集为,不等式可化为显然,于是,不等式又化为 ,解得故不等式的解集为另解:由题设,得,且是方程的两根,由根与系数的关系,得解得于是,不等式可化为,所以,即,解得故不等式的解集为五、分类讨论法例5(1)设,解关于的不等式:(2)解关于的不等式解:(1)当时,恒成立,故不等式的解集为;当时,原不等式可化为当时,解得;当时,解得综上所述,当时,不等式的解集为;当时,解集;当时,解集为(2)因为判别式当,即时,当,即时,综上,得当时,不等式的解集为当时,不等式的解集为六、分离参数法例6设集合,是关于的不等式组的解集,
3、试确定的取值范围,使解:等价于在上恒成立,分离参数,得由于,得于是,得不等式组 对恒成立,故实数的取值范围是另解:设则当且仅当,且七、等价转化法例7 关于实数的不等式与的解集分别为与 求使的的取值范围.解:由得,即,故又不等式可化为(1)当,即时,要使,即要,由此解得(2)当,即时,不可能有(3)当,即时,要使,即要由此解得同步练习(供选用)1解关于的不等式:2解关于的不等式:3(第十三届“希望杯”培训题)已知,且,则关于的不等式的解集为参考答案1(1),或时,;(2)时,;(3),或时,;2(1)时,;(2)时,;(3)时,或;(4)时,;(5)时,或3由知,是方程的两个实数根. 因为,且,所以 结合二次函数的图象得不等式的解集为