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1、二次函数知识点总结大全二一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （a,b, c是常数，a 0）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数y ax2 bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a, b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y
2、随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 .a 0问卜0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值0 .22. y ax c的性质:上加下减a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0问卜0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .2 ,3. y a x h的性质:左加右减。a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上h , 0X=hx h时，y随x
3、的增大而增大；x h时，y随x的增大而减小；x h时，y有最小值0 .a 0问卜h , 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的增大而增大；x h时，y有最大值0 .24. y a x hk的性质:a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0问卜h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的增大而增大；x h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2 k,确定其顶点坐标保持抛物线y
4、ax2的形状不变，将其顶点平移到 h, k处，具体平移方法如下:y=ax2y=ax 2+k向右（h0）【或左（h0）【或向下（k0）【或下（k0）【或左（h0）或下（k0）或左（h0）】平移|k|个单位2 .平移规律在原有函数的基础上 h值正右移，负左移；k值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：yax2bxc沿y轴平移：向上（下）平移 m个单位，y ax2bx c变成yax2 bxc m （或y ax2bx c m）yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移 m个单位，yax2bx c变成ya（x m）2b（x m）c （或y a（x m）2b（x m） c）四、二次函数y
5、a x h 2 k与y ax2 bx c的比较从解析式上看，y a x h 2 k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过222配方可以得到前者，即 y a x b ,其中h 包，k 4ac b .2a 4a2a 4a五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k ,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点 2h, c、 与x轴的交点 x,0, x2,0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开
6、口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与y轴的交点.b 4ac b,2a 4a六、二次函数y ax2 bx c的性质1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为 x ,顶点坐标为 2a当x 9时，y随x的增大而减小;2a2时，y有最小值4acb-.4ab时，y随x的增大而增大；当x 2a2a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x2,顶点坐标为, b2a2a 4ax包时，y随x的增大而增大；当x2a2y有最大值 色cb-.4a上时，y随x的增大而减小；当x 旦时, 2a2a七、二次函数解析式的表示方法1 . 一般式：y ax2 bx c （a, b, c为常数，a 0）;2 .顶点式：y a（x
7、 h）2 k （a, h, k为常数，a 0）；3 .两根式：y a(x x)(x x?) (a 0, x , x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 .当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小
8、，反之 a的值越大，开口 越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.(1)在a 0的前提下，当b 0时，_b_ 0,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2a当b 0时， 旦 0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b 0时，_b_ 0,即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，_b_ 0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b 0时， 0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b 0时， 0,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2a总结起来，在a
9、确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.b .ab的符号的判定：对称轴x 上-在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则ab 0,2a概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点， 即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函
10、 数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如 下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c；2 .一 _2y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是 y a x h k;2 .关于y轴对称y ax2 bx c
11、关于y轴对称后，得到的解析式是 y ax bx c;22ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是ya xh k ；3 .关于原点对称yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bx c;22y a x hk关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ;4 .关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 ）y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是yax2 bx c2a22y a x h k关于顶点对称后，得到的解析式是 y a x h k .5 .关于点m, n对称22y a x h k关于点m, n对称后，得到的解析式是 y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然
12、无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因 此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开 口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达 式.十、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程白关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况图象与x轴的交点个数：当 b2 4ac 0时，图象与X轴交于两点 A为，0 , B X2, 0 (Xi x?)，其中的为,x2是一
13、元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离AB x2 x1| 耳4al. a当 。时，图象与x轴只有一个交点； 当。时，图象与X轴没有交点.1当a。时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0;2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0.2 .抛物线y ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为 (0 , c);3 .二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数 y ax2 bx c中a, b, c的符号，或
14、由二次函数中a, b, c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之0抛物线与x轴后 两个交点二次二项式的值可止、 可零、可负一元二次方程由两个不相等实根0抛物线与x轴只 有一个交点二次三项式的值为非 负一元二次方程由两个相等的实数根0抛物线与x轴无 交点二次三项式的值恒为 正一元二次方程无实数根.间的内在联系:图像参考:
