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1、实数和代数式 一、重点、难点提示：1.相反数实数a的相反数是-a，零的相反数是零。 （1）a,b互为相反数a+b=0。 （2）在数轴上表示相反数的两点关于原点对称。 2.绝对值 |a|= 3. 算术根 （1）正数a的正的n次方根叫a的n次算术根，零的算术根仍是0。 （2）实数的三个非负性：|a|0, a20, 0(a0)。 4.科学记数法把一大于10的数记成a10n的形式，其中1an) 6.乘法公式： (a+b)(a-b)=a2-b2； (ab)2=a22ab+b2； 7.零指数和负整数指数： 规定a0=1(a0) ，a-p=(a0且p为正整数) 8.二次根式的主要性质 (1)()2=a (a
2、0). (2)=|a|= 注意：根式的化简相当于绝对值的化简，所以应养成化简时加绝对值的习惯，先完成这种转化，不易出错。 (3)=(a0, b0)。 (4)(b0,a0)。 二、重点例题分析 例1解答下列各题（1）已知|a|=8, |b|=2, |a-b|=b-a, 求a+b的值。 （2）已知a0, b|a|, 试用“”将a、b、-a、-b连结起来。 解：（1）|a|=8, a=8； |b|=2, b=2； 又|a-b|=b-a, b-a0, ba。 因此b取+2, a取-8, 或b取-2, a取-8。 当b=2, a=-8时, a+b=(-8)+2=-6。 当b=-2, a=-8时, a+b
3、=(-8)+(-2)=-10。 （2）b-aa0，A在原点右边，b|a|表示B到原点的距离大于A到原点的距离，再依相反数的概念找出-a,-b所对应的点，如图所示， 显然有：b-aa0, b|a|的条件，那么a=2, -a=-2, b=-3, -b=3。 从小到大的顺序为-3，-2，2，3。即b-aa0, a0。 原式=-a+a-a=-a。 说明：这道题隐含着条件a0是解此题的关键，而a0时，方程有两个不相等的实数根x1=,x2=；当=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=-；当0时，方程没有实数根。 4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=-,
4、x1x2=。（注意两根的和是的相反数）。以x1,x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。 5. 不等式的解法： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似。不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。 6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表： 不等式组 (a2x，得x-2 解不等式x-, 得 x-1。 所以不等式组的解集是 -24x+2, 得x1。 解不等式 ， 得x-2。 所以不等式组的解集是：-2x1。 所以不等式组的整数解是：-2，-1，0。 例3.已知方程(m-2)+(m+2)x+4=0是关于x的一元二次
5、方程。求m的值，并求此方程的两根。 分析：根据一元二次方程的定义，未知数x的最高次数是2，而且二次项的系数不能为0，所以m2-2=2，且m-20。于是可求m的值,进而求得方程的解。 解：（1）依题意，得m2-2=2,且m-20。 m=2, 且m2。 m=-2。 （2）把m=-2代入原方程，整理得(x-5)2=1 x-5=1, x1=4, x2=6。 例4.已知x是实数，且-(x2+3x)=2，那么x2+3x的值为（） A、1 B、-3或1 C、3 D、-1或3 误解：设x2+3x=y, 则原方程可变为-y=2, 即y2+2y-3=0。y1=-3, y2=1。 x2+3x=-3或1。故选B。 剖析：因为x为实数，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有实数解。当x2+3x=-3时，即是x2+3x+3=0，此时=32-4130，方程有实数解，即x是实数，符合题设，故x2+3x=1。 正确答案：选A。 说明：此题由解分式方程衍变而来，大大增加了错误机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直
