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1、2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题3：面积问题锦元数学工作室 编辑1. （2012广东佛山11分）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a4，b4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？（2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积【答案】解：（1）作图如下：能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b4。（2）连接BD，交AC于E，A与C交于B、D，ACDB，BE=DE。设CE=x，则AE=4x，BC= b=3，AB= a=2，由勾股
2、定理得：解得：。四边形ABCD的面积是。答：四边形ABCD的面积是。【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；（2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DBAC，BE=DE，设CE= x，则AE=4x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。2. （2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），
3、M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=4，x2=2。 点A在点B的左侧，A、B点的坐标为A（4，0）、B（2，0）。 （2）由得，对称轴为x=1。 在中，令x=0，得y=3。 OC=3，AB=6，。在RtAOC中，。设ACD中AC边上的高为h，则有ACh=9，解得h=。如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=1的两个交点即为所求的点D。设L1交y轴于E，过C作CFL1于F，则CF=h=，。设直线AC的解析式为y=kx+b，将
4、A（4，0），B（0，3）坐标代入，得，解得。直线AC解析式为。直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，直线L1的解析式为。则D1的纵坐标为。D1（4，）。同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（1，）。综上所述，D点坐标为：D1（4，），D2（1，）。（3）如图2，以AB为直径作F，圆心为F过E点作F的切线，这样的切线有2条连接FM，过M作MNx轴于点N。A（4，0），B（2，0），F（1，0），F半径FM=FB=3。又FE=5，则在RtMEF中，-ME=，sinMFE=，cosMFE=。在RtFMN中，MN=MNsinMFE=3，FN=MNcosM
5、FE=3。则ON=。M点坐标为（，）。直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。直线l的解析式为y=x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x3。综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x3。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。（2）根据题意求出ACD中AC边上的高，设为h在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h根据等
6、底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形从而问题得解。这样的切线有两条。3. （2
7、012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足PQO=60（1）点B的坐标是；CAO= 度；当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由（3）设点P的横坐标为x，OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围【答案】解：（1）（6，2）。 30。（3，3）。（2）存在。m=0或m=3或m=2。 （3
8、）当0x3时，如图1，OI=x，IQ=PItan60=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线lBCOA，可得，EF=（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：当3x5时，如图2，当5x9时，如图3，当x9时，如图4，。综上所述，S与x的函数关系式为： 。【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：四边形OABC是矩形，AB=OC，OA=BC，A（6，0）、C（0，2），点B的坐标为：（6，2）。由正切函数，即可求得CAO的度数：，CAO=30。由三角函数的
9、性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PEOA于E，PQO=60，D（0，3），PE=3。OE=OAAE=63=3，点P的坐标为（3，3）。（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：情况：MN=AN=3，则AMN=MAN=30，MNO=60。PQO=60，即MQO=60，点N与Q重合。点P与D重合。此时m=0。情况，如图AM=AN，作MJx轴、PIx轴。MJ=MQsin60=AQsin600又，解得：m=3。情况AM=NM，此时M的横坐标是4.5，过点P作PKOA于K，过点M作MGOA于G，MG=。KG=30.5=2.5，AG= AN=1.5。
10、OK=2。m=2。综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3或m=2。（3）分别从当0x3时，当3x5时，当5x9时，当x9时去分析求解即可求得答案。4. （2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）【答案】解：（1）在中，令x=0，得y
11、=9，C（0，9）；令y=0，即，解得：x1=3，x2=6，A（3，0）、B（6，0）。AB=9，OC=9。（2）EDBC，AEDABC，即：。s=m2（0m9）。（3）SAEC=AEOC=m，SAED=s=m2，SEDC=SAECSAED=m2+m=（m）2+。CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=ABAE=。又，过E作EFBC于F，则RtBEFRtBCO，得：，即：。以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 SE=EF2=。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可
12、确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。（2）直线lBC，可得出AEDABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。 （3）首先用m列出AEC的面积表达式，AEC、AED的面积差即为CDE的面积，由此可得关于SCDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到SCDE的最大面积以及此时m的值。过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的E的半径，可根据相似三角形BEF、BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。5. （2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：
13、y=2xb (b0)的位置随b的不同取值而变化 (1)已知M的圆心坐标为(4，2)，半径为2 当b=时，直线：y=2xb (b0)经过圆心M： 当b=时，直线：y=2xb(b0)与OM相切： (2)若把M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2). 设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，【答案】解：（1）10；。（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，2）。如图，当直线经过A(2，0)时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C(
14、6，2)时，b=14。当0b4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0。当4b6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为EFA的面积（如图1），在 y=2xb中，令x=2，得y=4b，则E（2，4b），令y=0，即2xb=0，解得x=，则F（，0）。AF=，AE=4b。S=。当6b12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2），在 y=2xb中，令y=0，得x=，则G（，0），令y=2，即2xb=2，解得x=，则H（，2）。DH=，AG=。AD=2S=。当12b14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积CMN的面积（如图2）在 y=2xb中，令y=2，即2xb=2，解得x=，则M（，0），令x=6，得y=12b，则N（6，12b）。MC=，NC=14b。S=。当b14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。综上所述。S与b的函数关系式为：。【考点】直线平移的性质
