导数的应用问题

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1、导数的应用问题重难点归纳 1 f(x)在某个区间内可导，若f(x)0,则f(x)是增函数；若f(x)0,则f(x)是减函数 2 求函数的极值点应先求导，然后令y=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如 y=x3,当x=0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0 3 可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一

2、般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y=|x|,在x=0处不可导，但它是最小值点 典型题例示范讲解 例1已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值，且f(1)=1 (1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=1是函数的极小值还是极大值，并说明理由 命题意图 利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解 知识依托 解题的成功要靠正确思路的选择 本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化 这

3、是解答本题的闪光点 错解分析 本题难点是在求导之后，不会应用f(1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍 技巧与方法 考查函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x=1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值 解 (1)f(x)=3ax2+2bx+cx=1是函数f(x)的极值点，x=1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根 由根与系数的关系，得又f(1)=1,a+b+c=1, 由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1)当x1或x1时，f(x)0当1x1时，f(x)0函数f(x)在(,1)

4、和(1,+)上是增函数，在(1，1)上是减函数 当x=1时，函数取得极大值f(1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=1 例2在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？命题意图 学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力 知识依托 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数 把“问题情景”译为数学语言，找

5、出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解 错解分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式 技巧与方法 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系 解法一 根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则BD=40,AC=50x,BC=又设总的水管费用为y元，依题意有 y=30(5ax)+5a (0x50)y=3a+,令y=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问

6、题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50x=20(km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省 解法二 设BCD=Q,则BC=,CD=40cot,(0),AC=5040cot设总的水管费用为f(),依题意，有f()=3a(5040cot)+5a=150a+40af()=40a令f()=0,得cos=根据问题的实际意义，当cos=时，函数取得最小值，此时sin=,cot=,AC=5040cot=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省 例3已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)设g(x)=ff(x),求g(

7、x)的解析式；(2)设(x)=g(x)f(x),试问 是否存在实数,使(x)在(,1)内为减函数，且在(1，0)内是增函数 解 (1)由题意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)(x)=g(x)f(x)=x4+(2)x2+(2)若满足条件的存在，则(x)=4x3+2(2)x函数(x)在(,1)上是减函数，当x1时，(x)0即4x3+2(2)x0对于x(,1)恒成立2(2)4x2

8、,x1,4x242(2)4,解得4又函数(x)在(1,0)上是增函数当1x0时，(x)0即4x2+2(2)x0对于x(1,0)恒成立2(2)4x2,1x0,44x202(2)4,解得4故当=4时，(x)在(,1)上是减函数，在(1,0)上是增函数，即满足条件的存在 学生巩固练习 1 设f(x)可导，且f(0)=0,又=1,则f(0)( )A 可能不是f(x)的极值B 一定是f(x)的极值C 一定是f(x)的极小值D 等于02 设函数fn(x)=n2x2(1x)n(n为正整数)，则fn(x)在0,1上的最大值为( )A 0B 1C D 3 函数f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的

9、单调区间_ 4 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大 5 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间 6 设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点 (1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由 7 已知a、b为实数，且bae,其中e为自然对数的底，求证 abba 8 设关于x的方程2x2ax2=0的两根为、(),函数f(x)= (1)求f()f()的值；(2)证明f(x)是，上的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间，上的最大值与最小值之差最小？参考答案

10、 1 解析 由=1,故存在含有0的区间(a,b)使当x(a,b),x0时0,于是当x(a,0)时f(0)0,当x(0,b)时，f(0)0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减 答案 B2 解析 fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4()n+1答案 D3 解析 函数的定义域是x或x2,f(x)= (3x2+5x2)=,若a1,则当x时，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函数f(x)在(

11、,+)上是增函数，x2时，f(x)0 函数f(x)在(,2)上是减函数 若0a1,则当x时，f(x)0,f(x)在(,+)上是减函数，当x2时，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函数答案 (,2)4 解析 设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为S=xh=从而令S=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下 h(0,R)R(,2R)S+0S增函数最大值减函数由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大 答案 R5 解 f(x)=3ax2+1若a0,f(x)0对x(,+)恒成立，此时f(x)只有

12、一个单调区间，矛盾 若a=0,f(x)=10,x(,+),f(x)也只有一个单调区间，矛盾 若a0,f(x)=3a(x+)(x),此时f(x)恰有三个单调区间 a0且单调减区间为(,)和(,+)，单调增区间为(, ) 6 解 f(x)=+2bx+1(1)由极值点的必要条件可知 f(1)=f(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程组可得a=,b=,f(x)=lnxx2+x(2)f(x)=x-1x+1,当x(0,1)时，f(x)0,当x(1,2)时，f(x)0,当x(2,+)时，f(x)0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值ln2 7 证法一 bae,要证

13、abba,只要证blnaalnb,设f(b)=blnaalnb(be),则f(b)=lna bae,lna1,且1,f(b)0 函数f(b)=blnaalnb在(e,+)上是增函数，f(b)f(a)=alnaalna=0,即blnaalnb0,blnaalnb,abba 证法二 要证abba,只要证blnaalnb(eab,即证,设f(x)=(xe)，则f(x)=0,函数f(x)在(e,+)上是减函数，又eab,f(a)f(b),即,abba 8 解 (1)f()=,f()= ,f()=f()=4(2)设(x)=2x2ax2,则当x时，(x)0,函数f(x)在(，)上是增函数(3)函数f(x)在，上最大值f()0,最小值f()0,|f()f()|=4,当且仅当f()=f()=2时，f()f()=|f()|+|f()|取最小值4，此时a=0,f()=2.课前后备注 新教材中的思维观点数学科学具有高度的综合性、很强的实践性，不断的发展性，中学数学新教材打破原教材的框架体系，新增添了工具性、实践性很强的知识内容，正是发展的产物 新