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1、四、静定结构由于温度变化及杆件长度制造误差引起的位移计算静定结构在温度变化时会产生变形，但不产生内力。计算温度变化引起的结构位移时，通常假定温度沿杆件截面高度 h是直线变化的。设杆件两侧表面的温度改变分别为 ti和12,材料的线膨胀系数为 a o 则由图36可知微段的温度变形为- a ds = 0其中to=( hit 2+ h2ti) / h，为杆件轴线处的温度改变；A t为杆件两侧表面温度变化差的绝对值。II应用单位荷载法，将 de t、dut、dn t代入变形体虚力方程I X = S十工+工匕日可i得温度变化引起的位移计算公式为旺-X atgNjds + 乏如果a、to、A t、h沿杆长不
2、变，则上式为式中A it为结构的拟求位移处沿i方向由温度变化引起的位移;(3 11)(3 12)3 Ni、3 Mi分别为杆件Ni图、Mi图的面积。当Ni及to引起的杆件轴向变形方向相同时，上式等号右边第一项为正，否则为负；当Mi及温度变化引起的杆件弯曲方向一致时，上式等号右边的第二项为正，否则为负。例34图3 7所示刚架施工时的温度为30C,冬季外侧温度为一200C，内侧温度为10C,各杆截面相同，均为矩形截面，截面高度为h,材料的线膨胀系数为a o试求刚架在冬季温度时B点的水平位移A BHo各杆外侧温度变化为t 1 = 20 30= 500C内侧温度变化为t 2= 10 30 = 200C于
3、是得各杆的t。、A t为t 0=( ti+t2)/ 2= 350CA t = 300C虚设状态的Mi及Ni图分别如图3 7b、c所示。由式(3 12)，得A BH= 35 a l 60 a l2/ h在计算中应注意各项正、负号的确定。I1Mi 图(a)(b)(c)比=1例35图38a所示桁架的六根下弦杆制造时比设计长度均缩短了ue= 2cm试求桁架在拼装后结点C的竖向位移A cv。解虚设状态如图3 8b所示，求出有制造误差的各下弦杆的轴力N后，就可按变形体系虚功原理得- 2)冥4+今(2)X2=- 10cm因为各下弦杆的制造误差均为缩短，而虚设状态中各下弦杆均为受拉，两者方向相反，故计算结果为
4、 负号，表示C点的竖向位移的实际方向为向上，即C点向上的起拱度为10cmt五、静定结构由于支座位移引起的位移计算静定结构在支座位移时，各杆件产生刚体位移，不产生内力。这时采用单位荷载法，由变形体系虚功 方程(3 2)，得虚力方程为1 x厶上+浓C二0于是得静定结构由支座位移 c引起的位移计算公式为(3 13)式中 A ic为结构拟求位移处沿i方向由支座位移 C引起的位移；C为实际的支座位移；Ri为与C相应的 由虚设状态的广义单位力产生的支座反力。当Ri与C的方向一致时，其乘积为正，否则为负。 例3 6 图39a所示三铰刚架的支座 B向右移动A BH 6cm,向下移动A BV= 8cm,试求结点
5、E的角位移e e(b)解虚设状态及虚设状态中支座 B处的反力大小和方向如图39b所示。于是由式(3 13)可得0 e= 0.015rad所得结果为正，表示 0 E的实际方向与假设的 Mi= 1的方向相同。例3 7图310所示桁架的支座 B向下移动A BV= C,试求BD杆的角位移0 bd。解虚设状态及虚设状态中支座B处的反力大小及方向如图 3 10b所示。于是由式(3 13)可得仔- 一 乞&C，=-(b)图 3- 10六、弹性体系的互等定理下面四个互等定理，适用于线性弹性体系，线性弹性体系的特征是应力应变之间为线性关系，体系的 位移是微小的，可以应用叠加原理。12= T21(一) 虚功互等定
6、理(3 14)即任一线性弹性体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功Tl2= T21等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功T21。由虚功原理可以导出下面三个互等定理(二) 位移互等定理S 12 =$ 21(3 15)上式表示同一线性弹性体系由单位荷载 P1= 1所引起的与荷载F2相应的位移3 21等于由单位荷载P2= 1 所引起的与荷载 F相应的位移3 12。这里的荷载可以是广义荷载，因而位移可以是相应的广义位移。如图311a、b 中的 3 12 =3 21 o位移互等定理在力法及其他结构分析的柔度法中得到应用。(三) 反力互等定理R 12=艮1(3 16)上式表示同一线性弹
7、性体系由单位位移Cl = 1所引起的与位移C2相应的反力 甩等于由单位位移C2= 1所引起的与位移 Ci相应的反力R120如图312a、b中的R2 =甩。反力互等定理只适用于超静定结构，它在位移法及其他结构分析的刚度法中得到应用。(四) 位移与反力互等定理3 12 =金(3 17)上式表示同一线性弹性体系由单位荷载尸R= 1所引起的与位移C2相应的反力在绝对值上等于由单位位移C2= 1所引起的与荷载 F相应的位移3 12，但两者相差一个符号。 如图3 13a、b中的3 12 =艮1。位移与反力互等定理在混合法中得到应用。二 L（6）图 3 11图 3- 12ZE：(M图 3- 13第四节超静定
8、结构的受力分析及特性一、超静定结构的特征及超静定次数超静定结构的几何特征是除了保证结构的几何不变性所必须的约束外，还存在多余约 超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为 次数。通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。即去除结构的全部多余约 多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。去除约束的方法有以下几种：（一）切断一根两端铰接的直杆（或支座链杆），相当于去除一个约束。（二）切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。束。结构的超静定束，使之成为无根杆件的铰
9、），相（三）切断一一个单铰（或支座固定铰），相当于去除二个约束；切断一个复铰 （连接当于去除2（n 1）个约束。（四）将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束；将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除n1个约束。去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。去除图4 1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4 1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。二、力法的基本原理（一）力法基本结构和基本体系去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力X（i=1、2、n） ,
10、X称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。去除多余约束后的结构称为力法基本结构。力法基本结构在各多余未知力、外荷载（有时还有温度变化、支座位移等）共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。选取力法基本结构应注意下面两点：1 基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。2选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。机E十缶谈卄比“二J（二）力法典型方程及其意义根据原结构在荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的已知
11、位移与基本结构在各多余未知力以及与原结构相同的荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的位移必须相同的条件，由叠加原理，可得n次超静定结构的力法典型方程为命【x【+办2X2 + $|尽+ 4加+岛t+亠=:$21X1 + 血& + 亠+ 去p + 细 + 加=“2 卜% I I V V I 4 11 S y. I f.I丄卜-k, （4 1）式中Xi为多余未知力（i=1、2、，2）; X钆为基本结构仅由Xj=1为多余未知力（j=1、2、n）产生的沿X方向的位移、为基本结构的柔度系数； Aip、Ait、Aic分别为基本结构仅由荷载、温度变化、支座位 移产生的沿X方向的位移，为力法典型方程的自由项
12、； A i为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作 用下的已知位移（如结构边界处的已知支座位移条件、杆件变形后的已知位移连续条件等）。力法典型方程（4 1）也称为变形协调方程。其中第一个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下， 在X作用点沿X作用方向产生的位移，等于原结构的已知相应位移 A 1; 第二个方程表示基本结构在 n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移共同作用下，在X2作用点沿茨作用方向产生的位移，等于原结构的已知相应位移 A 2。其余各式的意义可按此类推。各多余未知力X的大小和方向必须受力法典型方程的约束，多余约束力与变形协调条件是对应的，故满足力
13、法典型方程的各多余未知力的解是唯一真实的解。同一超静定结构，可以选取不同的基本体系，其相应的力法典型方程也就表达了不同的变形协调条件。不管选取哪种基本体系，求得的最后内力总是相同的。图4 2a所示体系为一次超静定结构， 如取图42b所示的基本体系，则力法典型方程为 3 iiX+A ip=0;对于图4 2d所示的一次超静定结构，如取图4 2e、f所示的基本体系，则相应的力法典型方程分别为 3 11X1 + A ip=O、3 11X1 + A ip= Xi/ kN。图4 3a所示一次超静定结构的支座B有已知的竖向位移a,如取图43b所示的基本体系，力法典型方程为3 11X = a;如取图4 3c所
14、示的基本体系，力法典型方程为3 11X1 +A 1（=0。图4 3（三）系数和自由项的计算力法典型方程中的系数和自由项都是静定基本结构仅由单位力、实际荷载、温度变化、支座位移产生的位移，它们均可按上述各自的定义，用相应的位移计算公式计算。力法典型方程中的系数 3 ii称为主系数，它们恒为正值；3 ij （i工j）称为副系数，它们可为正值、负值、也可为零，根据位移互等定理有3 ij = 3 ji ;各自由项的值可为正值、负值、也可为零。（四）计算超静定结构的内力由力法典型方程求出各多余未知力X后，将X和原荷载作用在基本结构上，再根据求作静定结构可通过下述叠加方法，计算内力图的方法，作出基本结构的内力图就是超静定结构的内力图。或者也结构的最后内力M - MvXi 十 M3X2 十十 MPIX. + 呵JV1xl + 匕心 + 十 Vwx V；，N =+ N.X,亠+ 心 + W卩丿(4 2)式中M、V、N分别为X = 1引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力；M、V NP分别为荷载引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力。对梁和刚架，通常的做法是先根据式(4 2)中的第一式求出各杆端弯矩，再用直杆弯矩图的叠加法作出各杆的弯矩图，然后根据弯矩图由静力平衡条件求出各杆端的剪力和轴力，并据此作
