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1、第八届上海交通大学大学生物理竞赛试题及参考答案上海交通大学物理协会版权所有，未经授权不得修改、复制、翻录、传播、翻译、汇编、 公之于众。第_试1, 一雨滴的初始质量为m，在重力的影响下，由静止开始降落。假定此雨滴从 云中得到质量，其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度的乘积：dm=kmvdt式中k为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为常量，并给出终极速率的表达 式。忽略空气的阻力。答：由变质量的运动方程:(m + dm)(v + dv) - mv - udm = mgdt，此处 u = 0dmdvv + m = mg dtdtdm=kmvdtdv:.kmv2 + m = mgdtdv=g
2、- kv 2 dt速度增加到右边为0时，加速度为0，速度不再变化。2, 考虑一个平面，一条直线把平面分为左右两边，质点在两边的势能分别为匕 和Ur，当一个质点以速率v斜入射并通过这条直线时，方向如何变化？答：设左右两边分界线为直线1，粒子运动速度与l的法线夹角为七。当粒子经过1后，速度为v,与法线夹角七。平行于界面动量不变：mv sin。= mv sin 0机械能守恒:1 mv 2 + U = 2由此解出:=arcsin( V W:2(Ul U)+ v 2 m3, 一个理想成像的薄凸透镜，一个直的傍轴物体，与主光轴有一定倾斜角，它 的像是直的还是弯的？（1）请回答此问题并根据成像公式给出严格的
3、数学证明。（只需在平面坐标下 证明）（2）你能从物理角度给出一个非常简洁的的证明么？答：（1）设y轴为凸透镜，焦距f，物所在直线方程为y=kx+b（x l固有长度分量:=ly cos0=l sin 0可以看出，它与x轴夹角并不是0，而是比0小，设为0淫 在杆的参照系下，栅栏的长度也发生了变化，如下:l= l :sin2 + B v l Y2l cos 0l =尤 yl = l sin 0栅栏间距变小了，与x轴夹角却变大了，设为02。这样，在杆参照系下，b,b先 重合，a,a后重合，这两个事件不是同时的，所以它是斜着穿过栅栏的。从y方 向看，一个高度为lsin0的杆通过一个高度lsin0的栅栏，
4、理所当然；从长度角 度看，虽然栅栏间距比杆小，但杆是斜着穿过的，也是理所当然的。所以，无论从哪个参照系下看此事件，都不违背任何物理规律。10，在基于物理学的杂技表演中，同样密度、半径分别为r和R=2r的两个圆柱， 被放置在一个质量为M=6kg的小车上，小圆柱的质量为m=1kg，两圆柱之间以 及圆柱与小车之间的静摩擦系数达到足以保证两者之间保持为无滑滚动，在初始 状态下，大圆柱的轴线位于小车的中间位置，并且三者相对静止。小车受到一个 水平拉力F，方向如图所示，运动过程中两圆柱的轴连线与水平方向成固定 中=60 (1) 求外力F的大小；(2) 要维持这种状态1秒钟，小 车至少要多长；(3) 中角有
5、等于0度的可能吗？ 试分析。答：由两个圆柱的体积关系，可得大圆柱的质量为4m。由已知，小车质量M=6m。设小圆柱和大圆柱的角加速度为以，以，两圆柱共同的水平方向线加速度为。， 小车的加速度为a2。当两圆柱以及大圆柱与小车均作无滑的无粘滞阻力的滚动 时，我们有Ra = a a 和 Ra = r以由于R = 2r，因此以 2 以 一23- ( 1 )12 r大小两圆柱的转动惯量分别为I - 4R2/2 = 8mr2和I - mr2/2。受力分析如图。有如下动力学方程：平动方程：对小车：F - F - 6ma ,(2)对大圆柱竖直方向：4mg + N - N - 0,(3) 对大圆柱水平方向F -
6、N2 - 4ma1,(4) 对小圆柱竖直方向：N - mg,(5) 对大圆柱水平方向：N - ma ,(6) 转动方程：N r cos 中一 N r sin 中-I 以,(7)F R + N Rsin 中一N R cos 中-I 以(8) fr212 2.由(4)，(6)F ma + 4ma 5ma (9)由(5)，(6)，(7)，(8)，(9)：.mr 2amgr cos 甲一 N ma r sin 甲-,(1 0)1 0ma r + 2ma r sin 甲一 2mgr cos甲-4mr2a (11)两式相除，又由（1）,可解出:_ g cos _ ga1 1 + sin 中 2 + 3把此结果代回(10)，可解出：a广(12+ZX = Wfe把以上两结果代回（1），可解出:3g3g
