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1、的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，时，随的增大网增大;yhxxhx有最随的增大而减小；时，yyhxx小值.k向下X=h时，随的增大而减小；时，yhhxxx有最时，的增大而增大；随yyhxx大值.k的绝对值越大，抛物线的开口越小。a三、二次函数图象的平移平移步骤：1.确定其顶点坐将抛物线解析式转化成顶点式，方法一：kyahx标；k,h处，具体平移保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到2kh,axy方法如下：2.平移规律值正右移，负左移；值正上移，负下移”.在原有函数的基础上“kh概括成八个字“左加右减，上加下减”.数单二元二次函第二十方法二：一、二次函数概念：22变成：向上（下）平移
2、个单位，沿轴平移cbxyyaxbxcaxym）的是常数，1.二次函数的概念：一般地，形如（2cbxaxycb,a,0a22（或）mbxaxcbxcmaxyy这里需要强调：和一元二次方程类似，函数，叫做二次函数。22变成个单位，沿轴平移：向左（右）平移caxyaxbxcbxym,而二次项系数可以为零.二次函数的定义域是全体实数.cb,0a22(或)c)mb(xcm)b(xm)mya(xya(x2.二次函数的结构特征:2caxy bx 2与四、二次函数的比较2k x yahcy ax bx.的最高次数是2的二次式，等号左边是函数，右边是关于自变量xx2是两种不同的表达形式，后从解析式上看，与2kh
3、ayxcaxbxy是二次项系数，是常数，是一次项系数，是常数项.cab,bca222b4bacbb4ac.其中者通过配方可以得到前者，即，yxa,hka2a4a2a4二、二次函数的基本形式五、二次函数图象的画法2cbxax中的性质：二次函数的基本形式khxay,22确定五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式kh）cya（yaxxbx线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小.aIa一般我们选左右对称地描点画图.其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，、与取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点yc20,c,0,ch2.一次项系数b.轴的交点轴没有交点，
4、则取两组关于对称轴对称的点）（若与，0xx,0,xx2i.轴的交点画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与yx在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴.ba六、二次函数的性质2cbxyaxb在轴左边则，在的符号的判定：对称轴轴的右侧yyxOabab-a2b,顶点坐标为当时，抛物线开口向上，对称轴为1.Oaxa2则，概括的说就是“左同右异”0ab2b4acb3.常数项决定了抛物线与轴交点的位置.ycca4a2bb总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.的增大而增大；的增大而减小；当随时，随时，当c,a,byyxxxxa2a22b4acb二次函数解析式的确定：当
5、时，.有最小值yx-a4a2b根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数，顶点坐标为2.当时，抛物线开口向下，对称轴为Oaxa2法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才xx x x能使解题2bacb4bb的增时，的增大而增大；当时，.当随随yy,a42aaa22简便.一般来说，有如下几种情况：？bac4b有最大值时，.大而减小；当yxa4a21.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；七、二次函数解析式的表示方法()为常数，1.一般式：，；2cbxyax0abca2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；,(为常数，；)2.顶点式：2khx
6、ay()0ahka3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x轴两交点的横坐，(是抛物线与3.两根式：0axx)(xxay(xxx22ii.标)4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.但并非所有的二注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，时，次函数都可以写成交点式，轴有交点，只有抛物线与即20b4acx九、二次函数与一元二次方程：二次函数解析式的这三种形式抛物线的解析式才可以用交,点式表示.1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况)：x.可以互化22bxyaxc当函数值一元二次方程是二次函数时的特殊情况.0bxcax0y八、次函数的图象与各项系数之
7、间的关系图象与轴的交点个数：x1.二次项系数a决定了抛物二次函数中，.显然作为二次项系数，2cybxax0aaa22是时，图象与，其中的轴交于两点当0xABx,0,04acbxxx),(xx1)()a()0a(&12121(2)aaac4b2 I xx AB当.一元二次方程的两根.这两点间的距离ac00axbx12a(3)0,babab(a0时，当.时，图象与当轴没有交点轴只有一个交点；时，图象与000a1xx轴当时，图象落在；图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有aa0y0a2xxx(4)00,b(abb.的下方，无论为任何实数，者B有0yx5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运
8、算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，2；轴一定相交，交点坐标为的图象与2.抛物线，ycyaxbx)c(0有括号的先算括号里的 （或先去括号）3. 二次函数常用解题方法总结： 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的图象与X一元二次方程第二单元求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化一、一元二次方程为顶点式；1、一元二次方程的符号，或由二次，根据图象的位置判断二次函数，中2caxbxybca的整式方程叫做一元二次方程。含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合；bca2、一元二次方程的一般形式二次函数的图象关于对称轴对称，可利用
9、这一性质，求和已知一点对称轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点的点坐标，或已知与x2）a0（bxc0ax的二次多，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x.坐标2叫做一次项，a叫做二次项系数；项式，等式右边是零，其中bx叫做二次项，ax第一单元二次根式c叫做常数项。b叫做一次项系数；1、二次根式二、一元二次方程的解法；被0）叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“a式子（a1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方必须是非负数。开方数a、最简二次根式22b）（xa的一元二次方程。根据平方根的定义法。直接开平方法适用于解形如若二次根式满足：被开方数
10、的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。babxxaax时，可知，当时，是b的平方根，当b0时，一元二次方程有1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x,y)关于原点的2个相同的实数根；时，一元二次方程有当=0对称点为P(-x,-y)2、关于x轴对称的点的特征时，一元二次方程没有实数根当0两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P(x,y)关于x轴的对称点为P(x,-y)四、一元二次方程根与系数的关系3、关于y轴对称的点的特征b2两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符
11、号相反，即点P(x,)(0a0cbxaxx,xxx,那么的两个实数根是如果方程一2121-)关于y轴的对称点为P(-x,y)cxx。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程第四单元圆一21a的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次一、圆的相关概念项系数所得的商。1 、圆的定义第三单元旋转旋转一周，绕它固定的一个端点。在一个个平面内，线段OA叫做圆OA随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点另一个端点一、旋转叫做半径。心，线段OA1、定义、圆的几何表示2叫做旋转中转动一个角度的图形变换叫做旋转，。把一个图形绕某一点其中OO为圆心的圆记作“。0，读
12、作”圆O以点心，转动的角叫做旋转角。二、弦、弧等与圆有关的定义2、性质）弦（11（）对应点到旋转中心的距离相等。）（如图中的连接圆上任意两点的线段叫做弦。AB（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。2）直径（二、中心对称）CD（如途中的经过圆心的弦叫做直径。.1、圆周角直径等于半径的2倍。顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。）半圆（32、圆周角定理圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（4）弧、优弧、劣弧推论圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。AB”或“弧，读作“圆弧”，BAB为端点的弧记作“弧用符号“c”表示，以a推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径。推论3”。：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三AB角形。；小于半圆的弧叫做劣弧（多用大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）七、点和圆的位置关系两个字母表示）设。O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有：三、垂径定理及其推论点P在。drO内；垂径定理：垂直于弦的直
