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1、单元质量测试(八)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1直线3xy10的倾斜角大小为()A. 30B. 60C. 120D. 150解析：k，120.答案：C2. 已知两条直线yax2和3x(a2)y10互相平行，则a等于()A. 1或3B. 1或3C. 1或3D. 1或3解析：直线yax2即为axy20，所以有关系式a(a2)3，解得a3或a1.经检验，a3或a1均满足题意答案：A3. 直线xy5和圆O：x2y24y0的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交不过圆心D. 相交过圆心解析：圆O的标准方程为x2(y2)24，圆心坐标为(0,2)，半径r2，圆心到直线的距离d
2、r2，所以直线与圆相离答案：A4圆锥曲线1的焦距是()A. 3B. 6C. 3或 D. 6或2解析：当m240，则方程的曲线为椭圆，a2m25，b2m24，从而c2a2b29，椭圆的焦距为2c6.当m242，整理得m2n20)的一个焦点与抛物线yx2的焦点重合，则此双曲线的离心率为()A. 2B. C. 3D. 4解析：依题意，抛物线yx2即x28y的焦点坐标是(0,2)，因此题中的双曲线的离心率e2，选A.答案：A7. 过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则弦AB的中点M到抛物线准线的距离为()A. B. C. 2D. 3解析：由题设可知
3、抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1.又由抛物线定义知，|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为1.答案：B8. F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左右两个焦点，P是右支上的动点，过F2作F1PF2平分线的垂线，交PF1于M，交角平分线于Q，则Q点轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线解析：PQ是F1PF2的平分线且PQMF2，|PM|PF2|，且Q是MF2的中点|PF1|PF2|PF1|PM|MF1|2a.|OQ|a，选A.答案：A9. 已知点F1，F2分别是双曲线1(a0，b
4、0)的左，右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A. (1，)B. (1，)C. (1，)D. (1,1)解析：由题设条件易知ABF2为等腰三角形，若ABF2是钝角三角形，只要AF2B为钝角即可，即AF2F145，所以有2c，即b22ac，于是c2a22ac，解得e1.答案：C10. 过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值等于()A. 5B. 4C. 3D. 2解析：本题考查直线的倾斜角、抛物线的简单性质设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，易知直线AB的
5、方程为yxp，代入抛物线方程y22px，可得x1x2p，x1x2，可得x1p，x2，可得3.答案：C11已知直线yk(x1)(k0)与抛物线C：y24x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|2|FB|，则k()A.B.C.D.解析：设A，B的纵坐标为y1，y2，由|FA|2|FB|，得B是AF的中点，设B(x1，y1)，则A(2x11,2y1)，代入抛物线方程得4y4(2x11)16x1，解得x1，B(，)，k.答案：B12已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，两条渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2PF1，l2PF2，则该双曲线的离心率是()
6、A. B. 2C. D. 解析：双曲线的左焦点为F1(c,0)，右焦点为F2(c,0)，因为点P在第一象限内且在l1上，所以两条渐近线分别为l1：yx，l2：yx，设点P(x0，y0)，x00，因为l2PF1，l2PF2，所以PF1PF2，即|OP|F1F2|c，即xyc2.又y0x0，所以x(x0)2c2，解得x0a，y0b，即P(a，b)，所以kPF1，l2的斜率为.又l2PF1，所以()1，即b2a(ac)a2acc2a2，所以c2ac2a20.所以e2e20.解得e2，所以双曲线的离心率e2.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 2014长治模拟已知直线l1
7、：(a2)x3ya0与l2：ax(a2)y10互相垂直，则a_.解析：因为l1：(a2)x3ya0与l2：ax(a2)y10互相垂直，所以a(a2)3(a2)0，解得a2或a3.答案：2或314. 若kR，直线ykx1与圆x2y22axa22a40恒有交点，则实数a的取值范围是_解析：因为直线ykx1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则02122a0a22a40且2a40，解得1a3.答案：1,315. 已知双曲线方程为x21，过定点P(2,1)作直线l交双曲线于P1，P2两点，并使得点P(2,1)为线段P1P2的中点，则此直线l的方程为_解析：设点P1(x1，y1)
8、，P2(x2，y2)，则有x1，x1，由已知条件可得直线P1P2的斜率k4，从而所求直线l的方程为4xy70.答案：4xy7016. 2014山东烟台月考已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线与x轴交于点M，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点，若|AM|AF|，则k的值为_解析：设A(x0，y0)，又M(，0)，由抛物线定义得|AF|x0，因为|AM|AF|，所以 |x0|，两边平方并化简得y(x0)2，即，所以k，故答案为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (本小题满分10分)2014唐山模拟P为圆A：(x1)2y28上的动点，点B(1,0)线段PB
9、的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)当点P在第一象限，且cosBAP时，求点M的坐标解：(1)圆A的圆心为A(1,0)，半径等于2.由已知|MB|MP|，于是|MA|MB|MA|MP|2，故曲线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a，c1，b1，曲线的方程为y21.(2)由cosBAP，|AP|2， 得P.于是直线AP方程为y(x1)由解得5x22x70，x11，x2.由于点M在线段AP上，所以点M坐标为.18. (本小题满分12分)点A，B分别是椭圆1长轴的左，右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上且位于x轴上方，并满足PAPF.(1)求点P的坐标
10、；(2)设点M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离的最小值解：(1)由已知可得点A(6,0)，F(4,0)设点P(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)，由已知可得化简得2x29x180，解得x或x6(舍去)由于y0，于是y.点P的坐标是(，)(2)直线AP的方程是xy60.设点M(m,0)，则点M到直线AP的距离是.由已知可得|m6|，结合6m6，解得m2.设椭圆上的点(x，y)到点M(2,0)的距离为d，则有d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，6x6，当x时，d取得最小值.19. (本小题满分12分)如图，BC是半圆的直径，O是圆
11、心，OA是与BC垂直的圆的半径，P为半圆上一点(P与A、B、C不重合)过P向BC作垂线，垂足为Q，OP和AQ的交点为M.试问：当P移动时，M的轨迹是怎样的曲线？说明理由解：如图，过A作BC的平行线l，分别过P、M作l的垂线，垂足为G、H.设圆的半径长为r，则|OP|QG|r.QPOAMH，.|OM|MH|.M在以O为焦点、以l为准线的抛物线上P与A、B、C不重合，M不在OA、BC上M必在圆的内部，M的轨迹是以O为焦点、以l为准线的抛物线(去掉抛物线的顶点)在圆内的部分，如图所示20. (本小题满分12分)2014浙江高考如图，设椭圆C：1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第
12、一象限(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.解：(1)设直线l的方程为ykxm(kb0)经过点(0，)，离心率为，左，右焦点分别为F1(c，0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程解：(1)由题设知解得a2，b，c1，椭圆的方程为1.(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d1得|m|.(*)|CD|22 .设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，由根与系数的关系可得x1x2m，x1x2m23.|AB| .由得 1，解得m
