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1、学 号 2011211335分类号O13本科生毕业论文（设计）题目：极限的求法与技巧的探究院 （系）数学与统计系 专 业 班 级 数学与应用数学2011级应用班学 生 姓 名 屈瑶瑶指导教师（职称）高民 （副教授）提 交 时 间 二一五年三月 极限的求法与技巧的探究研究屈瑶瑶（学院 数学与统计系, 714000）摘要：极限一直是数学分析中的一个重点容，而对极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求极限的最基本的方法还是利用极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的函数，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。
2、夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。此文笔者从不同的角度以与不同的题型进行探究,总结了部分求极限的方法,并且对这些不同的方法适用求哪种类型的极限以与它的要求和注意的地方进行了探索,通过典型的例题和分析从而帮助更多初学者能更容易、更快掌握求极限的方法。关键词：极限; 高等数学; 函数 The limits of calculation methods and skills of exploration researchQUYaoyao（Department of Mathematics and Statisti
3、cs,Ankang University,Weinan,Shanxi 714000）Abstract:Limit has been a key content of mathematical analysis, and to limit the method is varied, through induction and summary, we list some common calculation methods.The most basic way to limit was using the definition of limit, also pay attention to the
4、 use of two important limits, which can make use of equivalent substitution, expansion, reduction of a fraction, triangle substitution method into better function, can also use the laws of arithmetic of sequence limit is calculated.Clamp force theorem and monotone bounded principle is an important t
5、heorem, when asked to focus on using the Taylor formula, los will reach law, Riemann lemma is aimed at some special series.This article the author from different angles and different topic, part of the limit of the method are summarized, and applicable to these different approaches for which type of
6、 limit and its requirements and pay attention to place explores, through typical examples and analysis to help beginners can more easier and faster to master the method of limit.Key Words:limit; higher mathematics; function目录1.利用定义求极限12.利用极限的四则运算性质求极限23.利用两个重要极限公式求极限34.利用定积分求极限45.利用洛比达法则求极限56.利用Stol
7、z公式求极限67.利用无穷小量求极限88.利用泰勒公式求极限109.利用迫敛性求极限1110.利用中值定理求极限1211.利用归结原则求极限1312.用两个准则求极限1413.利用导数的定义求极限1514.利用级数收敛的必要条件求极限1615.利用换元法求极限17结 束 语17参考文献18致 19极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论与其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义
8、的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。1.利用定义求极限极限的概念可分为函数的极限和数列的极限两个方面.数列极限的定义：若任意给定一正数,总存在正整数N使得对所有的的都有,那么称常数是数列在趋于无穷时的极限,可记作：. 函数极限的定义：(1).若函数
9、在的某一去心邻域有定义,对任给的正数,总存在正数,使满足的所有对应的满足,则称为函数当时的极限,记作：; (2).若函数在大于某一正数时有定义,对任给的正数,总存在正数,使满足的所有对应的满足,则称为函数当时的极限,记作：. 上面述的定义我们可以利用它来求极限,而且在证明极限的存在性时我们经常使用定义法.例1. 证明 证： 0， 成立，解得 取于是存在0 ,有故 2：利用极限的四则运算性质求极限 极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不
10、能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例2：求极限(1)(2)(3)(4) 已知 求解：(1) (2)(3)-1 (4) 因为 所以 3：利用两个重要极限公式求极限在求极限的过程中,和、与其变形的重要方法是常用到的方法,但在运用时我们得注意自变量的趋向方式以与函数的形式.从观察可以发现和函数形式一样,但是不同的是中的自变量,此时的是无穷小量与有界量的乘积的形式,因此;同样可以看到和函数的形式一致,但是不同的是中的自变量,此时的是的形式.应用、时应该注意的地方
11、是函数是的形式,而且括号里为1加上某一项,其指数是该项的倒数的形式.在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。 例3：求下列函数的极限4 (1) (2)解：(1) 1(2)14.利用定积分求极限 由定积分的定义知，若在上可积，则可对用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是在上的定积分因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限这是求和式极限的一种方法例4:求极限解： 对所求极限作如下变形：不难看出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和，所以有5.利用洛比达法则求极限我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统
12、称为不定式极限，分别记作型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这方法通常称为洛比达法则。洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 等于 A 时，那么也存在且等于A. 如果不存在时，并不能断定也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论 。 例5：(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述极限是待定型1(2) 它为型 由对数恒等式可得=6.利用Stolz公式求极限Stolz公式和洛必达法则是求极限的有效方法，它们分别适用于数列和函数的情形.对于一些分子分母为求和式的比式极限题目用通常方法进行证
13、明是非常麻烦的，但是用此定理就非常的简单了，而用此定理可使分子分母中的很多项消去从而简化计算，应用比较方便.首先介绍一下此定理： Stolz 定理1（）：已知两个数列、,数列严格单调上升，而且+，当+,=,其中为有限数或为或则；Stolz 定理2（）：已知两数列、，0当+；数列严格单调下降而且0当+；= ，其中为有限数或为或,则Stolz 定理的函数形式：Stolz定理3（型）：若T0为常数，1) ,2) +,当+且,在a, +闭有界，即ba,， 在a ,b上有界，3) . 则Stolz 定理4（）：若T0为常数，1)0，2) =0, =0，3) .则,其中或有限数或例6.设求证明： 因为单调
14、递增且趋于又 故由Stolz定理知: =例7.若在（a,）有定义，而且闭有界，即任意（a,）, 在上有界，则1） - 2) ()= ,其中（c0）.证明：1）从题意知 令=,则,都符合定理的条件，令T=1所以可以直接套用定理， - ,2) 令y=(),则=, = ，由的连续性，所以 =得证.从上可以看出利用Stolz定理求极限的形式是非常有规律的，我们要善于发现式子的规律，但应具体问题具体分析，关键是发现所要求极限式的特点.7.利用无穷小量求极限：（1）利用无穷小量的性质求极限：无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果,g(x)在某区间有界，那么.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例8：求解： 因为 所以 0(2)利用等价无穷小量代换求极限： 等价无穷小量：当时，称y,z是等价无穷小量：记为 yz 在求极限过程中，往往可
