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1、第一节、整除特性一、基础理论知识点1、能被常见数字整除的数字特性1.被2整除的特性： 偶数 特别注意：0是偶数证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有abcde=（a10000+b1000+c100+d10）+e，可以看出括号内必为2的倍数，所以如果e是2的倍数的话，就可以得到原数abcde是2的倍数；并且当e不是2的倍数时，e和原数abcde对于2同余；例如125除以2的余数和5除以2的余数相同。2、被3整除的特性：一个数字的每位数字相加能被3整除；不能被3整除说明这个数就不能被3整除。证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有abcde=a10000+b1000+c100+d
2、10+e=a9999+b999+c99+d9+（a+b+c+d+e），可以看出中括号内必为3的倍数，所以如果（a+b+c+d+e）也是3的倍数的话，就可以得到原数abcde是3的倍数；并且当（a+b+c+d+e）不是3的倍数时，（a+b+c+d+e）和原数abcde对于3同余；例如125除以3的余数和（1+2+5）除以3的余数相同。如：388，3+8+8=19，19除以3余1,说明388除以3余数3余1。132891，1+3+2+8+9+1=24,24能被3整除，说明132891能被3整除。例1、某商场促销，晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打9.5折，付款时满400元再减100元。已知某
3、鞋柜全场8.5折，某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋，花了384.5元，问这双鞋的原价为多少钱？（ ）（2008年国家） A.550元 B.600元 C.650元 D.700元【阳光解析】B。根据选项可得原价大于400，所以最后付款时需要减去100，设原价x，可得x0.950.85-100=384.5，即x0.950.85=484.5，484.5是3的倍数且0.95和0.85都不是3的倍数，则x必为3的倍数，选B3、被5整除特性：一个数的最后一位能被5整除，说明这个数能够被5整除。如果不能被5整除，说明这个数就不能被5整除；证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有abcde=（a1000
4、0+b1000+c100+d10）+e，可以看出括号内必为5的倍数，所以如果e是5的倍数的话，就可以得到原数abcde是5的倍数；并且当e不是5的倍数时，e和原数abcde对于5同余；例如126除以5的余数和6除以5的余数相同。4、被4和25整除特性：只要看一个数字的末两位能不能被4（25）整除，这个数的末两位能被4（25）整除，说明这个数能被4（25）整除，反之不能被4（25）整除。（1）、被4整除特性：一个数的后两位能够被4整除，则这个数就能被4整除；证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有abcde=a10000+b1000+c100+（d10+e），可以看出中括号内必为4的倍数
5、，所以如果（10d+e）是4的倍数的话，就可以得到原数abcde是4的倍数；并且当（10d+e）不是4的倍数时，（10d+e）和原数abcde对于4同余；例如125除以4的余数和25除以4的余数相同。（2）、被25整除特性：一个数的后两位能够被25整除，则这个数就能被25整除；证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有abcde=a10000+b1000+c100+（d10+e），可以看出中括号内必为25的倍数，所以如果（10d+e）是25的倍数的话，就可以得到原数abcde是25的倍数；并且当（10d+e）不是25的倍数时，（10d+e）和原数abcde对于25同余；例如128除以25
6、的余数和28除以25的余数相同。例、某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。这个剧院共有多少个座位？ （ ）【北京2005】A. 1104 B. 1150 C. 1170 D. 1280【阳光解析】B。总共25排并且呈等差数列，所以总座位数=25第13排座位数，则总数必为25的倍数，25的倍数只需保证后两位是25的倍数即可，选B。5、被6整除特性：兼具被2整除和被3整除的特性即可，或者可以叙述为原数为偶数且各位数字之和是3的倍数，则原数是6的倍数；被3整除的偶数。6、被7整除特性：割尾法：一个数字的末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数，说明这个数能被7整除。证明：
7、令m=a1+a210+a3100+a41000+an10(n-1) ，则m去掉末位后剩下的数与末位2倍的差为 n= a2 +a310 +a4100+an10(n-2) - 2a1 2m+n=a221+a3210+a42100+an2110(n-2) = 21 a2+a310+an10(n-2) 因为2m+n必为7的倍数，所以若m是7的倍数的话，可得n也必为7的倍数；末三法：一个数字的末三位划分，大的数减去小的数除以7，能整除说明这个数就能被7整除。证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有abcde=ab1000+cde=ab1001+（cde-ab）=ab71113+（cde-ab）因
8、为中括号内必为7的倍数，所以如果（cde-ab）为7的倍数的话，就可以得到原数abcde是7的倍数；并且对于（cde-ab）0，当（cde-ab）不是7的倍数时，（cde-ab）和原数abcde对于7同余；例如4321除以7的余数和317（321-4）除以7的余数相同。如：789122，末三位数划分，789122 789-122=567，5677=81，说明789122这个数可以整除7。7、被8和125整除的特性：看一个数的末3位，如果末3位能被8（125）整除，说明这个数能被8（125）整除，反之这个数不能被8（125）整除。（1）、被8整除特性：一个数的后三位能够被8整除，则这个数就能被8
9、整除；证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有abcde=a10000+b1000+（c100+d10+e），可以看出中括号内必为8的倍数，所以如果（100c+10d+e）是8的倍数的话，就可以得到原数abcde是8的倍数；并且当（100c+10d+e）不是8的倍数时，（100c+10d+e）和原数abcde对于8同余；例如3450除以8的余数和450除以8的余数相同。（2）、被125整除特性：一个数的后三位能够被125整除，则这个数就能被125整除；证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有abcde=a10000+b1000+（c100+d10+e），可以看出中括号内必为12
10、5的倍数，所以如果（100c+10d+e）是125的倍数的话，就可以得到原数abcde是125的倍数；并且当（100c+10d+e）不是125的倍数时，（100c+10d+e）和原数abcde对于125同余；例如3450除以125的余数和450除以125的余数相同。8、被9整除的特性：一个数字的每位数字相加能被9整除，说明这个数能够被9整除。如果不能够被9整除，说明这个数就不被9整除；证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有abcde=a10000+b1000+c100+d10+e=a9999+b999+c99+d9+（a+b+c+d+e），可以看出中括号内必为9的倍数，所以如果（a+
11、b+c+d+e）也是9的倍数的话，就可以得到原数abcde是9的倍数；并且当（a+b+c+d+e）不是9的倍数时，（a+b+c+d+e）和原数abcde对于9同余；例如125除以9的余数和（1+2+5）除以9的余数相同。例、某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？（ ）【联考2011】A. 9 B. 12 C. 15 D. 18【阳光解析】B。假设第三名的工号是abcd，工号和是a+b+c+d=x，则x是3的倍数；因为第十名的工号和是10的倍数，所以第
12、十名工号最后一位是0，则前九名工号的最后一位依次为1、2、3、4、5、6、7、8、9；第三名的工号是abcd，则第九名的工号是abc(d+6)，工号和是a+b+c+d+6=x+6，所以第九名的工号和（x+6）必为9的倍数，观察选项只有B满足，选B。9、被11整除的特性叉减法：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差；如果这个差是11的倍数(包括0)，那么原来这个数就一定能被11整除证明：以五位数为例，假设这个数位abcde，则有abcde=a10000+b1000+c100+d10+e =（11000-1100+110-11+1）a+（1100-110+11
13、-1）b+（110-11+1）c+（11-1）d+e =（11000-1100+110-11）a+（1100-110+11）b+（110-11）c+（11）d+（a-b+c-d+e）可以看到中括号内必为11的倍数，所以如果（a-b+c-d+e）是11的倍数的话，就可以得到原数abcde是11的倍数； 并且对于（a-b+c-d+e）0，当（a-b+c-d+e）不是11的倍数时，（a-b+c-d+e）和原数abcde对于11同余数；例如54321除以11的余数和3（5+3+1-4-2）除以11的余数相同。末三法：一个数字的末三位划分，大的数减去小的数除以11，能整除说明这个数就能被11整除。证明：
14、以五位数为例，假设这个数为abcde，则有abcde=ab1000+cde=ab1001+（cde-ab）=ab71113+（cde-ab）因为中括号内必为11的倍数，所以如果（cde-ab）是11的倍数的话，就可以得到原数abcde是11的倍数；并且对于（cde-ab）0，当（cde-ab）不是11的倍数时，（cde-ab）和原数abcde对于11同余；例如12345除以11的余数和333（345-12=333）除以11的余数相同。如：15235，235与剩下的15之差为220，能被11整除，说明15235能被11整除。10、被13整除的特性割尾法：一个数字的末一位的4倍，与剩下的数之和为1
15、3的倍数，说明这个数能被13整除。证明：令 m= a1+a210+a3100+a41000+an10(n-1) ，则m去掉末位后剩下的数与末位4倍的和为 n=4 a1+a2 +a310 +a4100+an10(n-2) m+3n=a113+a213+a3130+a41300+an1310(n-2) = 13 a1+a2+a310+an10(n-2) 因为m+3n必为13的倍数，所以若m是13的倍数的话，可得n也必为13的倍数；末三法：一个数字的末三位划分，大的数减去小的数除以13，能整除说明这个数就能被13整除。证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有abcde=ab1000+cde=ab1001+（cde-ab）=ab71113+（cde-ab）因为中括号内必为13的倍数，所以如果（cde-ab）为13的倍数的话，就可以得到原数ab
