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1、1.2.2 自然边界条件上节中待求函数的边界值是已知的，本节放松边界值为可随意变动的情况。这里的问题是：在a x b的区间内，决定一个函数y(x)使泛函V = fb F (x, y, y )dx 取驻值a由上节的变分过程可知：5V竺a Byd dFdF(竺)yd并竺5y lbdx dydyai/ Euler方程仍必须成立，否则便能找到一个切使 V大于(或等于)零。在边界值中,y也可任意，故必须有(道理同前):在 x=a 及 x=b 处： =0(*)Byii/ 边界条件(*)是根据取驻点的要求推导出来的，不是事先指定的。所以，这类条件为 自然边界条件 。(或)：在泛函的驻值寻找中，自变函数必须满
2、足的条件(即在满足这些条件的函数中寻找 泛函极值)称为基本/本质(Essential)边界条件；而事先不必考虑，变分的结果自然满足的 边界条件称自然边界条件(Natural) 0iii/ 推广至更广泛的一些问题在a x b的区间内，决定一个函数y(x)使泛函V 二 Jb F(x, y, y)dx + Py(a) + Qy(b)a取驻值，其中P , Q为已知数值。求V的变分设：V =sfb F(x, y, y )dx + Py(a) + Qy(b)aBFdBFBFBF=Jb BF - d(BF)5ydx+P|F l y(a) + Q+BF l y(b) a BydxByBy x=aByx=b道理
3、同前，还可得如下自然边界条件：BFBF在 x = a,= P x = b，= -Q仕，By，By，1.2.3. 泛函的二阶变分 如函数的二阶微分用于判定函数驻值性质一样，泛函的二阶变分可用来判定泛函的驻值 性质，AV的一阶小量部分称为的V一阶变分，记VAV的二阶小量部分称为的V二阶变分，记 2VV = J y + 竺y，dxByBy，Note:dF dF . 八 dF dF . 八 石=(x,y,小矿而(x, y,y) y) = 0 Q/) = 0(近似取)2V J釜 y+篇 y y+篇 y+牆 y 映(y )2 + 2d 2 Fdydyy y +极值性质结论：V = 0 2V 0V = 0
4、2V 0V = 0 2V 0V 取极大值V 取极小值V 取非极大的驻值（当为多元函数时）V 取非极小的驻值V 取非极值的驻值（不定或等于零）1.2.4. 涉及高阶导数的驻值问题先考虑下列泛函的驻值问题：V = j b F （ x, y , y , y ） dxa作法：i/求V的一阶变分，设：V = j F y 切WdXii/ 利用分步积分把上式第二项化成：Jb 氏 ydx = _jb（笙）ydx + 些 y lb a dyfa dx dyfdyf aiii/ 连续用两次分步积分，把上式第三项化为：JbadX（w旳dx+彩叫=性(养)Sydx - dx(务)5y lb + 养 y 少代入5 V式
5、整理得:8V 7 b竺 一 （兰）+ 空（竺）5ydx + 竺- （竺）5y lb +竺5y，lb a dydxdydx2dy,fdyfdxQyaQy”丿 aiv/ 由第一项可推出:QF d QFd 2 QFEuUier 石 一 dx（oy7）+dX2（訝=0否则可找到一个5y，使5V的第一次大于（或小于）零。 分析中的第二项，若在边界上已知y，那么,5y =0于是第二项便恒等于0,反之,若5y可取任意值，那么应使：竺-（兰）=o Qy dx Qy否则，可找一个5y使5V的第二项大于（或小于）零。 分析5v中的第三项，如果在边界上不是已知y，则应有:归纳本问题的边界条件：在 x=a 及 x=b
6、 处：QF d QFy =已知（基本条件）或-丁（） =0 （自然条件）Qy dx Qy y=已知（基本条件）QF或=0Qy自然条件）homework ：求下列泛函的极值问题：w2 - qwdxV = r D（d 2 w ）2 + N（dw ）2 +k0 2 dx 22 dx 2再考虑包含更高阶导数的泛函驻值问题，取：V = jb F （x, y, y ,（n）dx a作法雷同5y（ n）dxQy（ n）5V=j: OFF+QF 5y+釜 5y （k）+QF接连利用 k 次分步积分公式，上式中的代表项化为:b F-6y(k) dx = (-1) k fb ( ，)5y(k) dx + 5y a
7、 cy (k)a dxk cy (k)cy (k)(k-1) ib - A (a dx)5y(k2) |bad k -1BF+ + (-1)k-1()5y ibdxk-1 By (k)a5 V可以化为：.BF d /BF、d/BFdbBF5V =Jb () +()+ (-1)n(a Bydx Bydx By 、)5ydxdxn dy (n)d n -1BFn-1()5y |bdxn-1 By (n)a+ 竺- (里)+ +(-1) n cydx By -(竺)5y ibdxn-2 By (n)a+BF+5y(n-1) |bBy (n)a由于5y的任意性，可得:BFd BFd 2 BFEuler:石-dx(By7) + 茁(By7) 一+ (-1)6F()二 0dnn-1 dxn cy (n)在 x=a 及 x=b 处:y =已知 或d n-1n-1 dxn-1 dy (n)6F()二 0y=已知或QF()二 0笙+(-1)3、 cydxn-2 cy (n)y (n-1)=已知或By(n)
