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1、word超越函数积分的五种解法On the five solutions to integral transcendental function袁玉军，陈婷婷，韩仁江指导教师：李声锋某某学院 数学与物理系 摘要: 大学数学课程系统介绍了幂级数、留数、拉普拉斯变换以与二元函数等理论，本文基于这些理论，给出了求解超越函数积分问题的五种方法.关键词：超越函数；积分；大学数学Abstract:In this paper ,by using the Laplace transform ,the residue theorem,the binary function,etc.to solve the pr
2、oblem of the transcendental functions integral Keywords:transcendental function ,integral牛顿莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函数的原函数不能用初等函数表示，如，等函数. 在阻尼振动、热传导与正态分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿莱布尼茨公式求解.在大学数学课程的学习中，我们已经较全面掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以与二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法.(1)基于幂级数展开法求积分引理11假如函数项级数在区间上一致收敛
3、，且每一项都连续，如此例1求定积分分析 注意到在内连续，且假如定义函数 显然，在点为可去连续点，故在上可积. 因此这是一道普通的定积分问题，然而被积函数的原函数不易找到，下面用幂级数展开求解.解 因为所以.又因为级数在区间上一致收敛，且通项连续，所以得到2基于柯西积分公式求积分引理2柯西积分公式2 设区域的边界是周线或复周线，函数在内解析，在上连续，如此有例2 求定积分分析 假如此题利用牛顿莱布尼茨公式，如此寻找被积函数的原函数比拟困难. 考虑到构造复变函数，利用该复变函数的积分来间接求出原积分.解考察复变积分，其中，利用柯西积分公式得. (1) 令，代入得 (2)又因为在上为偶函数, 所以由
4、可得.注：这题虽然不难，但给了我们启示任意给定函数，构造复变函数且该函数在某区域上的积分容易求出，使给定函数等于复变函数的实部或虚部，这样就可以求出实变函数的积分. (3)基于留数理论求积分引理3柯西留数定理2假如在周线或复周线所围的区域内除外解析，在闭域上除外连续，如此引理4假如当尔引理2设函数沿半圆周充分大上连续，且在上一致成立，如此引理52 设沿圆弧上连续，且在上一致成立极限，如此有极限 例3 计算积分解 因为积分存在，且=考虑函数沿图1所示闭曲线路径的积分图1 闭曲线路径根据柯西积分定理得或改写成 (3)其中分别表示半圆周.由引理4知由引理5知.在式(3)中，令，得的主值为.所以=.
5、(4)基于拉普拉斯变换法求积分 从例3的解题过程看出，利用留数方法计算积分比拟繁琐，以下利用拉普拉斯变换求解上题，相比照拟简单.引理63由积分所定义确实定于复平面上的复变数的函数，称为函数的拉普拉斯变换，其中于有定义，且满足不等式，这里为某两个正数，称为原函数，而称为像函数.解 令，对进展拉普拉斯变换，有，交换积分顺序得，如此为的拉普拉斯变换.由欧拉公式得， ，其中把看为变量.从而.所以=，即的像函数为，所以=.(5)含参变量积分法引理71设在连续，假如在上一致收敛，如此在上可积，且.引理81设与在区域上连续，假如在上收敛，在上一致收敛，如此在上可微，且通常，含参变量积分法主要有两种方法.方法
6、一：把超越函数的积分化为二元函数的积分问题，再利用引理7的积分交换顺序，从而求出超越函数的积分.例4 计算解 因为，所以由于与反常积分收敛，根据威尔斯特拉斯判别式(M判别式)，含参变量反常积分在上一致收敛，由于在上连续，根据引理7，于是方法二：把超越函数积分看成某个变量的函数，利用引理8，先微分，后积分，求出超越函数的积分.例5 6Define for .Both integrals exist (they converge absolutely) since the absolutely values of the integrands are at most and , respectiv
7、ely Note that is obtained from by differentiating the integrand with respect to . We claim that is differentiabale and that (3) To prove this ,let us first examine the difference quotients of the cosine:if ,then (4)Since ,the right side of (4) is at most in absolute value ;the case Is handled simila
8、rly. Thus (5) for all (if the left side is interpreted to be 0 when ) Now fix t,and fix .Apply(5)with it follows from(1)and (2)that When ,we thus obtain (3). Let us go a step further:An integration by parts, applied to (1),shows that (6)Thus and (3) implies now that f satisfies the differential equa
9、tion (7)If we solve this diffrential equation and use the fact that ,we find that (8) The integral (1) is thus explicitly determined.本文通过大量的数值实例，给出了关于超越函数积分问题的五种方法幂级数展开法求积分、基于柯西积分公式求积分、基于留数理论求积分、基于拉普拉斯变换法求积分以与含参变量积分法，只是起到抛砖引玉的作用.还有其它的求解方法，如傅氏积分法【4】、最陡下降法等【5】，还需广阔读者共同讨论。【参考文献】1 华东师X大学数学系.数学分析第三版，下册M.高等教育，2008:40,184,1872 钟玉泉.复变函数论第三版M.高等教育，2003:120,226,243,2463 王高雄，王寿松，周之铭.常微分方程第三版M.高等教育，2006:1504 X锋，孙福树，杨巧林.复变函数与积分变换第一版M.机械工业，2002：166。5 郭敦仁，王竹溪.特殊函数概论M.大学，2000：3716 美Walter Rudin数学分析原理英文版，第三版M.机械工业，2004：237， /
