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1、抽象函数的单调性和奇偶性抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1.判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例1.如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且有最小值为5,那么f(x)在区间7，3上是A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选B。例2.偶
2、函数f(x)在(0，+,)上是减函数，问f(x)在(,，0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论。分析：如图所示，易知f(x)在(-，0)上是增函数，证明如下:任取xx-x01212因为f(x)在(0，+，)上是减函数，所以f(-x)f(-x)。12又f(x)是偶函数，所以f(-x)二f(x)，f(-x)二f(x)，1122从而f(x)x12g(x)是R上的增函数，且g(x)0g(x1)g(x2)012g(x1)+1g(x2)+1022-g(x)+1g(x)+12122g(x)+1g(x)+121f(x1)-f(x2)=g(x)11g(x)+11g(x?)-1g(x)+1222=1-(1g(x
3、)+1g(x)+112220g(x)+1g(x)+1f(x1)f(x2)f(x)是R上的增函数例5.已知f(x)对一切x,y,满足f(0)丰0,f(x,y)二f(x)f(y)，且当x0时,f(x)1,求证：(1)x0时，0f(x)1；(2)f(x)在R上为减函数。证明：对一切x，ygR有f(x+y)=f(x)f(y)。且f(0)丰0，令x二y二0，得f(0)=1，现设x0，贝yx0，f(-x)1，而f(0)=f(x)f(-x)=11设x，xgR且xx，1212贝0f(x-x)1，21f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-和f(x1)f(x1)f(x1)f(x2)即f(x)为减函数。2.
4、证明奇偶性例6.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y)，求证：f(x)是偶函数。分析：在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x二y二1,得f(1)=f(1)+f(1)nf(1)=0令x二y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)nf(-1)=0于是f(-x)=f(-1x)=f(-1)+f(x)=f(x)#故f(x)是偶函数。三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例7.已知f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，且在(0,1)
5、上为增函数，满足/(a一2)-/(4一a2)0，试确定a的取值范围。解：f(X)是偶函数，且在(0,1)上是增函数，f(X)在(-1，0)上是减函数，1a21由c得心3a5。14a21(1) 当a=2时，f(a2)=f(4a2)=f(0)，不等式不成立。(2) 当恋3a2时，f(a2)f(4a2)1a20=f(a24)o-1a24a24解之得，*3a2(3) 当2a、込时，f(a2)f(4a2)0a21=f(a24)o0a241a2a24解之得，2aJ5综上所述，所求a的取值范围是2)U(2，5)。例8.已知f(x)是定义在(1上的减函数，若f(m2sinx)f(m+1+cos2x)对xR恒成
6、立，求实数m的取值范围。m2-sinx，3解：m+1+cos2x，3m2-sinxm+1+cos2xm2-sinx,3对xR恒成立OSIm2-sinxm+1+cos2x对xR恒成立om2-3，sinxS15m2-m-1sinx+cos2x=-(sinx一一)2+vr4对xR恒成立,S15I40时,f(x)2，f=5，求不等式f(a2-2a-2)3的解集。解：设x、xR且x0212，21即f(xx)20,21x)+x=f(x2-A)+f(叩一2f(Tf(x2)f(叩故f(x)为增函数，又f(3)f(2+1)f(2)+f(1)23f(1)45f(1)3f(a2一2a一2)3=f(1),即a22a2
7、11a3因此不等式f(a2-2a-2)3的解集为al-la3)o2.讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例10.已知函数f(x)是定义在1上的减函数，且对一切实数x,不等式f(k-sinx)f(k2-sin2x)恒成立，求k的值。分析：由单调性，脱去函数记号，得厂k2一sin2x1k一sinxk2一sin2xk2(sinx，)2(2)由题意知(1)(2)两式对一切xGR恒成立，则有、k2(1+sin2x)1min(sinx一一)2=、42max4一五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例11.已
8、知函数f(x)是定义域为R的偶函数，x0时，f(x)是增函数，若x0，x”0，12且lxllxl，则/(-x)，f(-x)的大小关系是。1212分析：x0，x”0且lxllxl，12122211#0，XXXX01221又X0时，f(x)是增函数，f(-X)f(X)21f(X)是偶函数，f(-X)f(X)11故f(-X)f(-X)12六、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。例12设函数yf(X)定义在R上，当X0时，f(X)1,且对任意m,n，有f(m+n)f(m)-f(n)，当m
9、丰n时f(m)丰f(n)。(1)证明f(0)1；(2) 证明：f(X)在R上是增函数；(3) 设AX，y)1f(x2)-f(y2)f(1)，B(X，y)1f(ax+by+c)1，a,b，cR，a丰0，若APlB0，求a,b，c满足的条件。解：(1)令mn0得f(0)f(0)-f(0)，f(0)0或f(0)1。若f(0)0，当m丰0时，有f(m+0)f(m)-f(0)，这与当m丰n时，f(m)丰f(n)矛盾，f(0)1。(2)设x0，f(X)1，12212111若Xf(T.f(X)在R上为增函数。(3)由f(x2)f(y2)f(1)得x2+y21(1)由f(ax+by+c)=1得ax+by+c=0(2)从(1)、(2)中消去y得(a2+b2)x2+2acx+c2-b20，因为AB=0.A=(2ac)2一4(a2+b2)(c2一b2)0,#
