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1、.第1章矩阵1. 写出下列从变量X, y到变量X1, yi的线性变换的系数矩阵:Xi(1)yiX1 xcos y1 Xsi nysi n ycos2. （通路矩阵）a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况1 11123.设 A111 , B1211 10534 ，求 3AB-2A 和 AtB.14.计算22 1 1(1)310012aia2bix（x, y, 1）ai2a22b?yb1b2c1Xi2yiy3yi3zi Z25.已知两个线性变换X22yi3 y 22y3,y22z
2、iz3 ,写出它们的矩阵表X34yiy25y3y3Z23z3示式,并求从Zi ,Z2, Z3到Xi,X2, X3的线性变换6. 设 f (x)=aoxm+ aixm1+ + am, A 是 n 阶方阵，定义 f (A)=aoAm+ aiAm1+ + amE.当 f (x)=x2- 5x+3, A13 时，求 f(A).7. 举出反例说明下列命题是错误的(1)若 A2= 0,贝U A= O.(2)若 A2= A，贝U A= O 或 A= E.7.设方阵A满足A2-3A-2E=0,证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵.8. 用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵:1231(1) A
3、2462123131422B101101213414330101210121002A2312 0332 0332 =B2 2rc3 c11121112111319.对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式10.设 P 1AP A,其中 P11.设 A 0 30 00 ，矩阵B满足AB=A+2B，求B.2，求 A9.10212.设 A212,利用初等行变换求 A-1533复习题一1设A, B, C均为n阶矩阵，且 ABC=E,则必有（）aiiai2ai32.设Aa2ia22a23,Ba31a32a33010100R 100,P2010001101，则必有（）(A) APiP2=B
4、 ；a2ia22a23aiiai2ai3a31aiia32ai2a33ai3(A) ACB = E;( B) CBA=E; ( C) BAC=E;( D) BCA=E.(B) AP2Pi=B； ( C) PiP2A=B ; ( D) P2PiA=B.B ,再把B的第2列与第3列交3.设A为4阶可逆矩阵，将 A的第1列与第4列交换得(D) P2A-1Pi.换得C,设000110000Pic100c，P20010，则 C-i=（0010010010000001(A) A-1PiP2；(B) PiA-1P2；(C) P2P1A-1；4设n阶矩阵A满足A2-3A+2E=O，则下列结论中一定正确的是（）
5、(A) A-E不可逆;(B) A-2E不可逆;(C) A- 3E可逆；(D) A-E和A-2E都可逆5.设 A=(1,2,3) , B=(1,1/2,1 /3)，令 C=ATB，求 Cn.6.证明：如果 Ak=O，则（E-A）-1=E+A+A2+Ak-1, k 为正整数.07设A, B为三阶矩阵,A0，且 A-1BA=6A+BA，求 B.178设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求0ai00000a2009设X(3i323n 0 )，求 X 10000an 1an0000第2章行列式习题1利用三阶行列式解下列三元线性方程组2x2 x322x1 x2 3x31x2 x303 1 x2当x取何值时，4
6、x00 .1 0 x3.求下列排列的逆序数： 315624 ；(2)13 (2n-1)24 (2n)abc4.证明：aa bab ca3.a2a b 3a2b c5.已知四阶行列式 AI中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为 3,-4,-2,0 ,求|A|.6计算下列行列式1111111111111111 x y x y y x y xx y x y0 11110 11110 111101 x1 x21 x2 x；1 X； X；(5) Dn1 ai111 a2111 an，其中7 .设n阶矩阵A的伴随矩阵为 A*，证明：|A*|=|A|n-1, （n支）.8.设A, B都是
7、三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2, |B|=1,计算|-2A*B-1|.2 1 19.设A 210 ，利用公式求 A-1.1 1 1复习题二(AB)*= B*A* 1设A, B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*,证明:34004300 d2.设A，求 A-1002000223.已知 Ai, A2, Bi, B2都是 3 1 矩阵，设 A=( Ai, A2, Bi,), B=( Ai, A2, B2), |A|=2, |B|=3,求|A+2B|.4 设A, B都是n阶方阵，试证:E AB第3章向量空间习题1. 设 ai=(1,-1,1)T, a=(0,1,2)T, a=(2,
8、1,3)T,计算 3 a-2 a+ a.2. 设 ai=(2,5,1,3)T, a=(10,1,5,10)T, a=(4,1,-1,1)T，且 3( a-x)+2( a+x)=5( a+x),求向量 x.3. 判别下列向量组的线性相关性：(1) a1=(-1,3,1)T, a=(2,-6,-2)T, a=(5,4,1)T ； B1=(2,3,0)t,苦(-1,4,0)t,他=(0,0,2)t .4.设 0=ai,32= ai+ a,33= ai+a+a3，且向量组ai,a,a线性无关，证明向量组31,仪，演线性无关.5.设有两个向量组ai,a,a和3i= ai-a+a3,32= ai+ a-a
9、,3= -ai+ a2+ a,证明这两个向量组等价.6.求向量组 a=(1,2,-1)T, a=(0,1,3)T, a=(-2,-4,2)T, a=(0,3,9)T 的一个极大无关组，并将其 余向量用此极大无关组线性表示.7.设al, a,an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量 已，.,31能由它们线性表示，证明：a1, a,an线性无关.a4=a ai+ b a, a=c a+d a(a, b, c, d8.设有向量组 ai, a, a3, a4, a, 其中 ai, a, a 线性无关, 均为不为零的实数），求向量组a , a, a4, a的秩.9.设矩阵 A= (1,2,n), B=(
10、n,n-1,1),求秩 R(ATB).21 11211 21410.设矩阵A，求A的秩，并写出A的一个最高阶非零子式46 224369791203204211.已知矩阵A，若A的秩R(A)=2，求参数t的值1t5t 4102113.设A为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵，证明：如果A2=A,则2354026412.设 A115，求A的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组33195R(A)+R(A-E)= n.14.已知向量空间R3的两组基为100-110a1 , a1, a31和01 , 01 , 01001011求由基ai, a, a到基0,伦，他的过渡矩阵复习题三k1111k111.设矩阵A，
11、已知A的秩为3,求k的值11k1111k2 设向量组A： ai,as与B：仏,卩，若A组线性无关且 B组能由A组线性表示为(31,卩)=(ai,as)K,其中K为S r矩阵，试证：B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩 R(K)= r.3. 设有三个 n维向量组 A : a, a, a; B: ai, a, a, a; C: ai, a, a, a.若A组和C组都线性无关，而 B组线性相关，证明向量组 ai, a, a, a- a线性无关.4. 设向量组 A： ai=(1,1,0)T, a=(1,0,1)T, a=(0,1,1)T 和 B: 3=(-1,1,0)T,色=(1,1,1)T,色=(0,1,-1)T3(1) 证明：A组和B组都是三维向量空间R的基；(2) 求由A组基到B组基的过渡矩阵； 已知向量a在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求a在A组基下的坐标.第4章线性方程组习题X1X251.写出方程组 2x1X2x3 2x41 的矩阵表示形式及向量表示形
